Załóżmy, że F jest macierzą 5xx5, której przestrzeń kolumnowa nie jest równa RR ^ 5 (5 wymiarów). Co można powiedzieć o zerowym F?

Odpowiedź:

Wymiar # „null” (F) # jest # 5- „ranga” (F)> 0 #

Wyjaśnienie:

ZA # 5xx5 # matryca #FA# będzie mapować # RR ^ 5 # do podprzestrzeni liniowej, izomorficzna do # RR ^ n # dla niektórych #n w {0, 1, 2, 3, 4, 5} #.

Ponieważ powiedziano nam, że ta podprzestrzeń nie jest całością # RR ^ 5 #, jest izomorficzny # RR ^ n # dla pewnej liczby całkowitej # n # w zasięgu #0#-#4#, gdzie # n # jest rangą #FA#. Taka podprzestrzeń jest #4# hiperpłaszczyzna wymiarowa, #3# hiperpłaszczyzna wymiarowa, #2# płaszczyzna wymiarowa, #1# linia wymiarowa lub #0# punkt wymiarowy.

Możesz wybrać # n # wektorów kolumn, które obejmują tę podprzestrzeń. Możliwe jest wtedy skonstruowanie # 5-n # nowe wektory kolumnowe, które wraz z # n # oryginalne obejmują całość # RR ^ 5 #.

A później # 5-n # nowe wektory kolumn obejmują przestrzeń zerową #FA#.

Innymi słowy, wymiar pustej przestrzeni #FA# jest # 5- „ranga” (F) #.

Załóżmy, że S1 i S2 są niezerowymi podprzestrzeniami, z S1 zawartym w S2 i załóżmy, że dim (S2) = 3?

1. {1, 2} 2. {1, 2, 3} Trik polega na tym, aby zauważyć, że dana podprzestrzeń U przestrzeni wektorowej V ma dim (U) <= dim (V). Łatwym sposobem na to jest zwrócenie uwagi, że każda podstawa U nadal będzie liniowo niezależna w V, a zatem musi być albo podstawą V (jeśli U = V), albo mieć mniej elementów niż podstawa V. Dla obu części problemu, mamy S_1subeS_2, co oznacza, że powyższy dim (S_1) <= dim (S_2) = 3. Dodatkowo wiemy, że S_1 jest niezerowe, co oznacza dim (S_1)> 0. 1. Jako S_1! = S_2, wiemy, że nierówność dim (S_1) <dim (S_2) jest ścisła. Zatem 0 <dim (S_1) <3, co oznacza dim (S_1

Załóżmy, że istniała podstawa i pewna liczba wymiarów dla podprzestrzeni W w RR ^ 4. Dlaczego liczba wymiarów 2?

4 wymiary minus 2 ograniczenia = 2 wymiary Współrzędne 3 i 4 są jedynymi niezależnymi. Pierwsze dwa można wyrazić w kategoriach dwóch ostatnich.

Jaka jest przestrzeń kolumnowa macierzy?

Przestrzeń kolumn macierzy jest zbiorem wszystkich możliwych kombinacji liniowych jej wektorów kolumnowych. To właśnie oznacza liniowe kombinacje wektorów kolumn. c_1, ..., c_n może być dowolną liczbą rzeczywistą.