Zakres log_0,5 (3x-x ^ 2-2)?

Odpowiedź:

# 2 <= y <oo #

Wyjaśnienie:

Dany # log_0.5 (3x-x ^ 2-2) #

Aby zrozumieć zakres, musimy znaleźć domenę.

Ograniczeniem w domenie jest to, że argument logarytmu musi być większy niż 0; zmusza to nas do znalezienia zer kwadratów:

# -x ^ 2 + 3x-2 = 0 #

# x ^ 2- 3x + 2 = 0 #

# (x -1) (x-2) = 0 #

Oznacza to, że domena jest # 1 <x <2 #

Dla zakresu ustawiamy podane wyrażenie równe y:

#y = log_0.5 (3x-x ^ 2-2) #

Konwertuj bazę na logarytm naturalny:

#y = ln (-x ^ 2 + 3x-2) / ln (0,5) #

Aby znaleźć minimum, oblicz pierwszą pochodną:

# dy / dx = (-2x + 3) / (ln (0,5) (- x ^ 2 + 3x-2)) #

Ustaw pierwszą pochodną równą 0 i rozwiń dla x:

# 0 = (-2x + 3) / (ln (0,5) (- x ^ 2 + 3x-2)) #

# 0 = -2x + 3 #

# 2x = 3 #

#x = 3/2 #

Minimum występuje przy #x = 3/2 #

#y = ln (- (3/2) ^ 2 + 3 (3/2) -2) / ln (0,5) #

#y = ln (1/4) / ln (0,5) #

#y = 2 #

Minimum wynosi 2.

Bo #ln (0.5) # jest liczbą ujemną, funkcja zbliża się # + oo # ponieważ x zbliża się do 1 lub 2, zakres wynosi:

# 2 <= y <oo #