Woda wycieka z odwróconego zbiornika stożkowego z szybkością 10 000 cm3 / min w tym samym czasie woda jest pompowana do zbiornika ze stałą szybkością Jeśli zbiornik ma wysokość 6 m, a średnica na górze wynosi 4 mi jeśli poziom wody wzrasta z prędkością 20 cm / min, gdy wysokość wody wynosi 2 m, jak znaleźć tempo, w jakim woda jest pompowana do zbiornika?

Pozwolić # V # być objętością wody w zbiorniku, w # cm ^ 3 #; pozwolić # h # być głębokością / wysokością wody w cm; i pozwól # r # być promieniem powierzchni wody (na górze), w cm. Ponieważ zbiornik jest stożkiem odwróconym, tak i masa wody. Ponieważ zbiornik ma wysokość 6 mi promień na szczycie 2 m, podobne trójkąty to sugerują # frac {h} {r} = frak {6} {2} = 3 # po to aby # h = 3r #.

Objętość odwróconego stożka wody jest wtedy # V = frac {1} {3} p r ^ {2} h = p r ^ {3} #.

Teraz rozróżnij obie strony w odniesieniu do czasu # t # (w minutach), aby dostać # frac {dV} {dt} = 3 p r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (W tym kroku używana jest reguła łańcucha).

Jeśli #V_ {i} # to objętość wody, która została wpompowana # frac {dV} {dt} = frak {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (gdy wysokość / głębokość wody wynosi 2 metry, promień wody wynosi frac {200} {3} # cm).

W związku z tym # frac {dV_ {i}} {dt} = frak {800000 p} {3} +10000 około 847758 frac {box {cm} ^ 3} {min} #.