Jaka jest wartość stałej k, jeśli rzeczywiste rozwiązania równania x ^ 4-kx ^ 3 + 2kx ^ 2 + 2x-20 = 0 to x = 2 i x = -1?

Odpowiedź:

#k = 7 #

Dany: # x ^ 4-kx ^ 3 + 2kx ^ 2 + 2x-20 = 0 #

Zastąp -1 dla x:

# (- 1) ^ 4-k (-1) ^ 3 + 2k (-1) ^ 2 + 2 (-1) -20 = 0 #

# 1 + k + 2k -2 - 20 = 0 #

# 3k-21 = 0 #

#k = 7 #

Zastępca 2 dla x:

# (2) ^ 4-k (2) ^ 3 + 2k (2) ^ 2 + 2 (2) -20 = 0 #

# 16-8k + 8k + 4-20 = 0 #

#0 = 0#

Oznacza to, że wszystkie rzeczywiste wartości k dają wielomianowi pierwiastek #x = 2 #dlatego dobrze wybierz najbardziej restrykcyjne, #k = 7 #

Zobacz poniżej.

Zgodnie z pytaniem

# x ^ 4 - k x ^ 3 + 2 k x ^ 2 + 2 x - 20 = (x - 2) (x + 1) (a x ^ 2 + b x + c) #

lub grupowanie współczynników

# {(2 c-20 = 0), (2 + 2 b + c = 0), (2 a + b - c + 2 k = 0), (a - b - k = 0), (1 - a = 0):} #

Rozwiązanie dla # a, b, c, k # otrzymujemy

#a = 1, b = -6, c = 10, k = 7 #