Jak wykorzystać serię dwumianową do rozwinięcia sqrt (1 + x)?

Odpowiedź:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = suma (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # z #x w CC #

Użyj uogólnienia formuły dwumianowej na liczby zespolone.

Wyjaśnienie:

Istnieje uogólnienie formuły dwumianowej na liczby zespolone.

Ogólna formuła serii dwumianowych wydaje się być # (1 + z) ^ r = suma ((r) _k) / (k!) Z ^ k # z # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (według Wikipedii). Zastosujmy to do twojego wyrażenia.

Jest to seria mocy, więc oczywiście, jeśli chcemy mieć szanse, że to nie odbiega, musimy ustawić #absx <1 # i tak się rozwijasz #sqrt (1 + x) # z serią dwumianową.

Nie zamierzam wykazać, że formuła jest prawdziwa, ale nie jest zbyt trudna, wystarczy zobaczyć, że funkcja złożona zdefiniowana przez # (1 + z) ^ r # jest holomorficzny na dysku jednostkowym, oblicz każdą jego pochodną przy 0, a to da ci wzór Taylora funkcji, co oznacza, że możesz rozwinąć ją jako szereg mocy na dysku jednostki, ponieważ #absz <1 #, stąd wynik.