Odpowiedź:
Wyjaśnienie:
Rozszerzenie serii dwumianowej dla
Więc mamy:
Jak użyć trójkąta Pascala do rozwinięcia (x + 2) ^ 5?
Piszesz szósty rząd trójkąta Pascala i dokonujesz odpowiednich podstawień. > Trójkąt Pascala to Liczby w piątym rzędzie to 1, 5, 10, 10, 5, 1. Są to współczynniki terminów w wielomianie piątego rzędu. (x + y) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4y + 10x ^ 3y ^ 2 + 10x ^ 2y ^ 3 + 5xy ^ 4 + y ^ 5 Ale nasz wielomian to (x + 2) ^ 5. (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4 × 2 + 10x ^ 3 × 2 ^ 2 + 10x ^ 2 × 2 ^ 3 + 5x × 2 ^ 4 + 2 ^ 5 (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 10x ^ 4 + 40x ^ 3 + 80x ^ 2 + 80x + 32
Jak wykorzystać serię dwumianową do rozwinięcia sqrt (1 + x)?
Sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = suma (1 // 2) _k / (k!) x ^ k z x w CC Użyj uogólnienia formuły dwumianowej na liczby zespolone. Istnieje uogólnienie formuły dwumianowej na liczby zespolone. Ogólny wzór serii dwumianowej wydaje się być (1 + z) ^ r = suma ((r) _k) / (k!) Z ^ k z (r) _k = r (r-1) (r-2) .. . (r-k + 1) (według Wikipedii). Zastosujmy to do twojego wyrażenia. Jest to seria mocy, więc oczywiście, jeśli chcemy mieć szanse, że to się nie rozbierze, musimy ustawić absx <1 i tak właśnie rozwijamy sqrt (1 + x) z serią dwumianową. Nie zamierzam pokazywać, że formuła jest prawdziwa, ale nie jest
Jak wykorzystać serię dwumianową do rozwinięcia sqrt (z ^ 2-1)?
Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Chciałbym podwójnego sprawdzenia, ponieważ jako student fizyki rzadko wyjść poza (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx dla małych x, więc jestem trochę zardzewiały. Seria dwumianowa jest wyspecjalizowanym przypadkiem twierdzenia dwumianowego, które stwierdza, że (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k Z ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) Co mamy to (z ^ 2-1) ^ (1/2) , to nie jest poprawna forma. Aby to naprawić, przypomnij sobie, że i ^ 2 = -1, więc mamy: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) This jest teraz w poprawnej formie