Jak wykorzystać serię dwumianową do rozwinięcia sqrt (z ^ 2-1)?

Odpowiedź:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Wyjaśnienie:

Chciałbym podwójnie sprawdzić, ponieważ jako student fizyki rzadko się wykraczam # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # dla małych x, więc jestem trochę zardzewiały. Seria dwumianowa jest wyspecjalizowanym przypadkiem twierdzenia dwumianowego, które to stwierdza

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Z # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Mamy to # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #, to nie jest poprawna forma. Aby to naprawić, przypomnij to # i ^ 2 = -1 # więc mamy:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

To jest teraz we właściwej formie #x = -z ^ 2 #

Dlatego rozszerzenie będzie:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #