Suma kwadratu trzech liczb całkowitych wynosi 324. Jak znaleźć liczby całkowite?

Odpowiedź:

Jedynym rozwiązaniem z dodatnimi liczbami całkowitymi dodatnimi jest #(2, 8, 16)#

Pełny zestaw rozwiązań to:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Wyjaśnienie:

Możemy zaoszczędzić trochę wysiłku, rozważając, jaką formę przyjmują kwadraty.

Jeśli # n # jest wtedy nieparzystą liczbą całkowitą #n = 2k + 1 # dla pewnej liczby całkowitej # k # i:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Zauważ, że jest to nieparzysta liczba całkowita formularza # 4p + 1 #.

Więc jeśli dodasz kwadraty dwóch nieparzystych liczb całkowitych, zawsze otrzymasz liczbę całkowitą formularza # 4k + 2 # dla pewnej liczby całkowitej # k #.

Zauważ, że #324 = 4*81# jest w formie # 4k #, nie # 4k + 2 #.

Dlatego możemy wywnioskować, że wszystkie trzy liczby całkowite muszą być równe.

Od tego czasu istnieje skończona liczba rozwiązań w liczbach całkowitych # n ^ 2> = 0 # dla dowolnej liczby całkowitej # n #.

Rozważ rozwiązania w nieujemnych liczbach całkowitych. Na końcu możemy dodawać warianty zawierające ujemne liczby całkowite.

Załóżmy, że największa liczba całkowita to # n #, następnie:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Więc:

# 12 <= n <= 18 #

Powoduje to możliwe sumy kwadratów pozostałych dwóch liczb całkowitych:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Dla każdej z tych wartości # k #załóżmy, że największa pozostała liczba całkowita wynosi # m #. Następnie:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

i wymagamy # k-m ^ 2 # być idealnym kwadratem.

Stąd znajdziemy rozwiązania:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Jedynym rozwiązaniem z dodatnimi liczbami całkowitymi dodatnimi jest #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Łatwo to pokazać # x, y # i # z # musi być nawet dlatego, że robienie # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # i # z = 2m_z # mamy

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # lub

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # co jest absurdalne.

Tak więc rozważymy od teraz

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Teraz rozważam tożsamość

# ((l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

z # l, m, n # dowolne dodatnie liczby całkowite i tworzenie

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

mamy

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # lub rozwiązanie dla # n #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

więc dla wykonalności potrzebujemy

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # lub

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

więc dla # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # będziemy mieli

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # więc wykonalne # q # są

#q_f = {80,72,56,32} # bo #q equiv 0 mod 4 #

więc musimy znaleźć

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # lub

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Tutaj, jak łatwo możemy zweryfikować, jedynym rozwiązaniem jest

# l_1 = 2, m_1 = 4 # bo

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = pasek q_1 #

i konsekwentnie # n_1 = {4,5} #

i zastępując w 1 dostajemy

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

dając rozwiązanie

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #