Odpowiedź:
Wykonaj dużo algebry po zastosowaniu definicji limitu, aby znaleźć nachylenie przy # x = 3 # jest #13#.
Wyjaśnienie:
Definicja limitu pochodnej to:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Jeśli oceniamy ten limit dla # 3x ^ 2-5x + 2 #, otrzymamy wyrażenie dla pochodna tej funkcji. Pochodna jest po prostu nachyleniem linii stycznej w punkcie; tak oceniając pochodną w # x = 3 # da nam nachylenie linii stycznej przy # x = 3 #.
Powiedziawszy to, zacznijmy:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (anuluj (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-anuluj (5x) -5h + anuluj (2) - anuluj (3x ^ 2) + anuluj (5x) - anuluj (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (anuluj (h) (6x + 3h-5)) / anuluj (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Oceniając ten limit na # h = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Teraz, gdy mamy pochodną, musimy się tylko podłączyć # x = 3 # aby znaleźć tam nachylenie linii stycznej:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Odpowiedź:
Zobacz sekcję wyjaśniającą poniżej, jeśli używasz swojego nauczyciela / podręcznika #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Wyjaśnienie:
Niektóre prezentacje użycia rachunku różniczkowego, dla definicji nachylenia linii stycznej do wykresu #f (x) # w miejscu, gdzie # x = a # jest #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # pod warunkiem, że limit istnieje.
(Na przykład 8. edycja Jamesa Stewarta Rachunek różniczkowy str. 106. Na stronie 107 podaje odpowiednik #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Z tą definicją nachylenie linii stycznej do wykresu #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # w miejscu, gdzie # x = 3 # jest
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) +2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Zauważ, że ten limit ma postać nieokreśloną #0/0# bo #3# to zero wielomianu w liczniku.
Od #3# jest zero, wiemy o tym # x-3 # jest czynnikiem. Możemy więc brać pod uwagę, zmniejszyć i spróbować ponownie ocenić.
# = lim_ (xrarr3) (anuluj ((x-3)) (3x + 4)) / anuluj ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Limit to #13#, więc nachylenie linii stycznej przy # x = 3 # jest #13#.
