Jak można udowodnić rozkład Poissona?

Odpowiedź:

# „Zobacz wyjaśnienie” #

Wyjaśnienie:

# „Bierzemy okres czasu o długości„ t ”, składający się z n kawałków” #

#Delta t = t / n. Przypuśćmy, że szansa na udane wydarzenie ”#

# ”w jednym kawałku to„ p ”, a następnie całkowita liczba zdarzeń w n” #

# "kawałki czasu są rozkładane dwumianowo zgodnie z" #

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …, n #

# "z" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(kombinacje)" #

# „Teraz pozwalamy” #

# n-> oo ", więc" p-> 0, "ale" n * p = lambda #

# "Więc zastępujemy" p = lambda / n "w" p_x ":" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (lambda / n) ^ x (1-lambda / n) ^ (n-x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-lambda / n) ^ x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n (n-1) (n-2) … (n-x + 1)) / (n (1-lambda / n)) ^ x #

# "dla" n -> oo "co znajduje się pomiędzy …" -> 1 "a" #

# (1 - lambda / n) ^ n -> e ^ -lambda "(limit Eulera)," #

# „więc otrzymujemy” #

#p_x (x) = (lambda ^ x e ^ -lambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #