Jaka jest domena i zakres f (x) = (x + 9) / (x-3)?

Odpowiedź:

Domena: Mathbb {R }minus {3} #

Zasięg: #bbbb {R} #

Wyjaśnienie:

Domena

Domeną funkcji jest zbiór punktów, w których funkcja jest zdefiniowana. Z funkcją numeryczną, jak zapewne wiesz, niektóre operacje są niedozwolone - mianowicie dzielenie przez #0#, logarytmy liczb nie dodatnich, a nawet korzenie liczb ujemnych.

W twoim przypadku nie masz logarytmów ani korzeni, więc musisz się tylko martwić o mianownik. Narzucając #x - 3 n 0 #, znajdziesz rozwiązanie #x ne 3 #. Tak więc domena jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, z wyjątkiem #3#, którą możesz napisać jako Mathbb {R }minus {3} # lub w formie interwału # (- infty, 3) cup (3, infty) #

Zasięg

Zakres to przedział, którego ekstrema to najniższe i najwyższe możliwe wartości osiągnięte przez funkcję. W tym przypadku zauważyliśmy już, że nasza funkcja ma punkt, w którym nie ma definicji, co prowadzi do pionowej asymptoty. Gdy zbliżasz się do pionowych asymptot, funkcje różnią się w kierunku # -infty # lub # infty #. Przyjrzyjmy się, co dzieje się wokół # x = 3 #: jeśli weźmiemy pod uwagę lewy limit, który mamy

#lim_ {x do 3 ^ frak {x + 9} {x-3} = frak {12} {0 ^ = - infty #

W rzeczywistości, jeśli # x # awanse #3#, ale jest jeszcze mniej niż #3#, # x-3 # będzie nieco mniej niż zero (pomyśl na przykład o # x # przyjmując wartości takie jak #2.9, 2.99, 2.999,…#

Zgodnie z tą samą logiką

#lim_ {x do 3 ^ +} frak {x + 9} {x-3} = frak {12} {0 ^ +} = infty #

Ponieważ funkcja zbliża się do obu # -infty # i # infty #, zakres jest # (- infty, infty) #, co oczywiście jest równoważne całemu zestawowi liczb rzeczywistych #bbbb {R} #.

Odpowiedź:

#x in (-oo, 3) uu (3, oo) #

#y in (-oo, 1) uu (1, oo) #

Wyjaśnienie:

Mianownik f) x) nie może wynosić zero, ponieważ spowodowałoby to niezdefiniowanie f (x). Zrównanie mianownika do zera i rozwiązanie daje wartość, której x nie może być.

# "rozwiązać" x-3 = 0rArrx = 3larrcolor (czerwony) "wykluczona wartość" #

# „domena” x w (-oo, 3) uu (3, oo) #

# „let” y = (x + 9) / (x-3) #

# "przestawianie co x temat" #

#y (x-3) = x + 9 #

# xy-3y = x + 9 #

# xy-x = 9 + 3y #

#x (y-1) = 9 + 3y #

# x = (9 + 3y) / (y-1) #

# „rozwiązać” y-1 = 0rArry = 1larrcolor (czerwony) „wartość wykluczona” #

# "range" y in (-oo, 1) uu (1, oo) #

graph {(x + 9) / (x-3) -10, 10, -5, 5}