Dla f (x) = xsin ^ 3 (x / 3) jakie jest równanie linii stycznej przy x = pi?

Odpowiedź:

# y = 1,8276x-3,7 #

Wyjaśnienie:

Musisz znaleźć pochodną:

#f '(x) = (x)' sin ^ 3 (x / 3) + x * (sin ^ 3 (x / 3)) '#

W tym przypadku pochodna funkcji trygonometrycznej jest w rzeczywistości kombinacją 3 funkcji elementarnych. To są:

# sinx #

# x ^ n #

# c * x #

Sposób rozwiązania tego problemu jest następujący:

# (sin ^ 3 (x / 3)) '= 3sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3))' = #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) (x / 3) '= #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) * 1/3 = #

# = sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

W związku z tym:

#f '(x) = 1 * sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3) + xcos (x / 3)) #

Wyprowadzenie równania stycznego:

#f '(x_0) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

#f '(x_0) * (x-x_0) = y-f (x_0) #

# y = f '(x_0) * x-f' (x_0) * x_0 + f (x_0) #

Zastępując następujące wartości:

# x_0 = π #

#f (x_0) = f (π) = π * sin ^ 3 (π / 3) = 2,0405 #

#f '(x_0) = f' (π) = sin ^ 2 (π / 3) * (sin (π / 3) + πcos (π / 3)) = 1,8276 #

Dlatego równanie staje się:

# y = 1.8276x-1.8276 * π + 2.0405 #

# y = 1,8276x-3,7 #

Na poniższym wykresie widać to na # x = π = 3,14 # styczna rzeczywiście rośnie i przecina oś Y w #y <0 #

wykres {x (sin (x / 3)) ^ 3 -1.53, 9.57, -0.373, 5.176}