Jeśli to możliwe, znajdź funkcję f taką, że grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Odpowiedź:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Wyjaśnienie:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# „Teraz weź” #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# „Wtedy mamy jedno i to samo f, które spełnia warunki.” #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Odpowiedź:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Wyjaśnienie:

Mamy słabą notację w pytaniu, ponieważ operator del (lub operator gradientu) jest operatorem różnicowym wektora, Szukamy funkcji #f (x, y) # takie, że:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Gdzie #bb (grad) # jest operatorem gradientu:

# "grad" f = bb (grad) f = (częściowy f) / (częściowy x) bb (ul kapelusz i) + (częściowy f) / (częściowy x) bb (ul kapelusz j) = << f_x, f_y> > #

Od czego wymagamy:

# f_x = (częściowy f) / (częściowy x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 ….. A

# f_y = (częściowy f) / (częściowy y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 ….. B

Jeśli integrujemy A wrt # x #, podczas leczenia # y # jako stała otrzymujemy:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Jeśli integrujemy B wrt # y #, podczas leczenia # x # jako stała otrzymujemy:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Gdzie #u (y) # jest dowolną funkcją # y # sam i #v (x) # jest dowolną funkcją # x # sam.

Oczywiście wymagamy, aby te funkcje były identyczne, dlatego mamy:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

I tak wybieramy #v (x) = x ^ 4 # i #u (y) = y ^ 6 #, co daje nam nasze rozwiązanie:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Możemy łatwo potwierdzić rozwiązanie, obliczając pochodne cząstkowe:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # CO BYŁO DO OKAZANIA