Odpowiedź:
Nie sądzę, że równanie jest ważne. jestem zarozumiały #abs (z) # jest funkcją wartości bezwzględnej
Wyjaśnienie:
Wypróbuj dwa terminy # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Stąd
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Być może masz na myśli nierówność trójkąta dla liczb zespolonych:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Możemy to skrócić
# | sum z_i | le sum | z_i | #
gdzie są kwoty #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemat. # text {Re} (z) le | z | #
Rzeczywista część nigdy nie jest większa niż wielkość. Pozwolić # z = x + iy # dla niektórych prawdziwe # x # i # y #. Wyraźnie # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # i biorąc pierwiastki kwadratowe # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. Wielkość jest zawsze dodatnia; # x # może być lub nie; tak czy inaczej, nigdy nie jest większa niż wielkość.
Użyję paska na koniugacie. Tutaj mamy liczbę rzeczywistą, kwadratową wielkość, która jest równa iloczynowi koniugatów.Sztuka polega na tym, że równa się jej własnej prawdziwej części. Rzeczywista część sumy jest sumą rzeczywistych części.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = tekst {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i tekst {Re} (pasek z_i (sum_j z_j)) #
Na podstawie naszego lematu i wielkości produktu będącego iloczynem wielkości, a wielkość koniugatów jest równa,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | pasek z_i (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | pasek (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Możemy anulować jeden czynnik wielkości sumy # | sum z_i | #, co jest pozytywne, zachowując nierówność.
# | sum z_i | le suma | z_i | #
Właśnie to chcieliśmy udowodnić.
