Uproszczenie S_ (k + 1) całkowicie. Dzięki?!!

Odpowiedź:

# S_k = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

#S_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Wyjaśnienie:

Nie możemy po prostu zastąpić # x = k + 1 # do formuły, czy może czegoś mi brakuje?

Sekwencja jest:

# S_n = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

Więc jeśli chcemy obliczyć # S_k #, po prostu umieściliśmy # n = k #, i dostać

# S_k = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + k (k + 1) = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

W przypadku #S_ (k + 1) #, Myślę, że możemy po prostu zastąpić # n = k + 1 #i będziemy mieli

#S_ (k + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + (k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Jeśli chcemy to rozszerzyć, staje się

# (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (k ^ 2 + 3k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (k ^ 3 + 3k ^ 2 + 3k ^ 2 + 9k + 2k + 6) / 3 #

# = (k ^ 3 + 6k ^ 2 + 11k + 6) / 3 #

# = k ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = k ^ 3/3 + 2k ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

Odpowiedź:

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Wyjaśnienie:

#S_n: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) / 3 #

Niech stwierdzenie będzie prawdziwe dla n = k, #S_k: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

Sprawdźmy dla

n = k + 1

# S_n = S_ (k + 1) #

# n + 1 = k + 2 #

# n + 2 = k + 3 #

# "z natychmiastowym określeniem jest" (k + 1) (k + 2) #

# (n (n + 1) (n + 2)) / 3 = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

A zatem, #S_ (k + 1): 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) #

#S_ (k + 1): S_k + (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

# = (k (k + 1) (k + 2)) / 3+ (k + 1) (k + 2) #

# = 1/3 (k (k + 1) (k + 2) +3 (k + 1) (k + 2)) #

# = 1/3 ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Zweryfikowany.

A zatem

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #