Jeśli 3x ^ 2-4x + 1 ma zera alfa i beta, to co kwadrat ma zera alfa ^ 2 / beta i beta ^ 2 / alfa?

Odpowiedź:

Odnaleźć #alfa# i # beta # pierwszy.

Wyjaśnienie:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Czynniki po lewej stronie, więc mamy

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Bez utraty ogólności korzenie są #alpha = 1 # i #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # i #(1/3)^2/1= 1/9#.

Wielomian o współczynnikach wymiernych o tych korzeniach jest

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Jeśli pragniemy współczynników całkowitych, pomnóż przez 9, aby uzyskać:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9 x - 1) #

Możemy to pomnożyć, jeśli chcemy:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

UWAGA: Bardziej ogólnie, moglibyśmy napisać

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alfa) #

# = x ^ 2 - ((alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfabeta)) x + alfabeta #

Odpowiedź:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Wyjaśnienie:

Zauważ, że:

# (x-alpha) (x-beta) = x ^ 2- (alfa + beta) x + alfa beta #

# (x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha) = x ^ 2- (alfa ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alfa) x + (alfa ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / alfa)#

#color (biały) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2- (alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfa beta) x + alfa beta #

#color (biały) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2 - ((alfa + beta) ^ 3-3 alfa beta (alfa + beta)) / (alfa beta) x + alfa beta #

W naszym przykładzie dzielenie # 3x ^ 2-4x + 1 # przez #3# mamy:

# {(alfa + beta = 4/3), (alfa beta = 1/3):} #

Więc:

# ((alfa + beta) ^ 3-3 alfa beta (alfa + beta)) / (alfa beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3)) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Tak więc pożądany wielomian można zapisać:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Pomnóż przez #9# aby uzyskać współczynniki całkowite:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Odpowiedź:

Proponowane rozwiązanie poniżej;

Wyjaśnienie:

# 3x²-4x + 1 #

Uwaga: #za# to alfa, #b# jest beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Aby utworzyć równanie, znajdujemy sumę i produkty korzeni.

Do sumy

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Ale; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

W związku z tym;

# ((a + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Dlatego zastępujemy wartości.

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) - anuluj3 (1 / anuluj3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (anuluj3 / 1) #

#28/9#

Stąd suma jest #28/9#

Dla produktów

# ((a²) / b) ((b²) / a) #

# ((ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Stąd produkt jest #1/3#

# x²- (a + b) x + ab #

# x²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Pomnożenie przez #9#

Mam nadzieję że to pomoże!