Mamy dach półcylindrowy o promieniu r i wysokości r zamontowany na czterech prostokątnych ścianach o wysokości h. Mamy 200πm ^ 2 arkusza z tworzywa sztucznego do wykorzystania w konstrukcji tej struktury. Jaka jest wartość r, która pozwala na maksymalną głośność?

Odpowiedź:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Wyjaśnienie:

Pozwól mi powtórzyć pytanie, tak jak je rozumiem.

Pod warunkiem, że powierzchnia tego obiektu jest # 200pi #, zmaksymalizuj głośność.

Plan

Znając pole powierzchni, możemy przedstawić wysokość # h # jako funkcja promienia # r #, wtedy możemy reprezentować objętość jako funkcję tylko jednego parametru - promienia # r #.

Ta funkcja musi być zmaksymalizowana przy użyciu # r # jako parametr. To daje wartość # r #.

Powierzchnia zawiera:

4 ściany tworzące boczną powierzchnię równoległościanu o obwodzie podstawy # 6r # i wysokość # h #, które mają całkowitą powierzchnię # 6rh #.

1 dach, połowa powierzchni bocznej walca o promieniu # r # i wysokość # r #, który ma powierzchnię #pi r ^ 2 #

2 boki dachu, półkola o promieniu # r #, którego całkowita powierzchnia wynosi #pi r ^ 2 #.

Wynikowa całkowita powierzchnia obiektu wynosi

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Wiedząc, że to jest równe # 200pi #możemy wyrazić # h # pod względem # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Objętość tego obiektu składa się z dwóch części: pod dachem i pod dachem.

Poniżej dachu mamy równoległościan o powierzchni podstawy # 2r ^ 2 # i wysokość # h #, to jest jego objętość

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

W dachu mamy pół cylindra o promieniu # r # i wysokość # r #, jego objętość jest

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Musimy zmaksymalizować tę funkcję

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

to wygląda tak (nie do skalowania)

wykres {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2,56, 2.56}

Ta funkcja osiąga maksimum, gdy jej pochodna jest równa zero dla argumentu dodatniego.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

W obszarze #r> 0 # równa się zero kiedy # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Jest to promień, który daje największą objętość, biorąc pod uwagę pole powierzchni i kształt obiektu.