Jak obliczyć cos ^ 2 x + 7 cos x + 8?

Odpowiedź:

# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

Pierwsza wpłata # t = cosx #.

# y = t ^ 2 + 7t + 8 #

Przejdźmy teraz do kwadratu, aby to uwzględnić.

# y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #

Zauważ, że # (t + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #

# = t ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #

# = t ^ 2 + 7t + 49/4 #

Więc chcemy dodać #49/4# do wyrażenia i odejmij go ponownie.

# y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #

Zauważ, że #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.

# y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #

Teraz zauważ to # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.

# y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #

Teraz mamy różnicę kwadratów i możemy ją uwzględnić jako jedną.

#y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #

# y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #

Jeśli chcemy, możemy wprowadzić wspólny czynnik #1/2# z każdej części:

# y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

# (cos (x) + frac {7 + srt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - srt (17)} {2}) #

pozwolić # u = cos (x) #

Pytanie staje się wtedy:

Czynnik # u ^ 2 + 7u + 8 # można tutaj użyć wzoru kwadratowego, tj. # u = frac {-b pm srt (b ^ 2-4ac)} {2a} #

lub możesz to zrobić na dłuższą metę (co nie jest lepsze niż formuła, w rzeczywistości jest to jedna z metod formułowania formuły kwadratowej):

znajdź dwa korzenie, # r_1 # i # r_2 # takie # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #

Rozszerzać: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #

# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #

A zatem: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #

i dlatego: # - (r_1 + r_2) = 7 # i # (r_1) (r_2) = 8 #

# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #

# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #

# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #

# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #

# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #

# r_1-r_2 = srt (17) #

# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frak {-7 + srt (17)} {2} #

# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #

Tak więc forma faktorowana to # (u + frac {7 + srt (17)} {2}) (u + frac {7 - srt (17)} {2}) #

pod # u = cos (x) # uzyskać:

# (cos (x) + frac {7 + srt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - srt (17)} {2}) #