Jaka jest wielość rzeczywistego pierwiastka równania, które raz przecina / dotyka osi X?

Odpowiedź:

Kilka obserwacji …

Wyjaśnienie:

Zauważ, że #f (x) = x ^ 3 # ma właściwości:

• #f (x) # ma stopień #3#

• Jedyna prawdziwa wartość # x # dla którego #f (x) = 0 # jest # x = 0 #

Te dwie właściwości same w sobie nie są wystarczające do określenia, że zero na # x = 0 # ma wielość #3#.

Na przykład:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Zauważ, że:

• #g (x) # ma stopień #3#

• Jedyna prawdziwa wartość # x # dla którego #g (x) = 0 # jest # x = 0 #

Ale wielość zera #g (x) # w # x = 0 # jest #1#.

Niektóre rzeczy możemy powiedzieć:

• Wielomian stopnia #n> 0 # ma dokładnie # n # złożona (prawdopodobnie rzeczywista) wielość liczników zer. Jest to konsekwencja Podstawowego Twierdzenia Algebry.

• #f (x) = 0 # tylko kiedy # x = 0 #, ale to jest stopień #3#tak też jest #3# wielość liczników zer.

• Dlatego to zero na # x = 0 # musi być wielości #3#.

Dlaczego tak nie jest #g (x) #?

To jest stopień #3#, więc ma trzy zera, ale dwa z nich są nierealnymi złożonymi zerami, nazwa # + - i #.

Innym sposobem patrzenia na to jest obserwowanie tego # x = a # jest zero #f (x) # wtedy i tylko wtedy gdy # (x-a) # jest czynnikiem.

Znaleźliśmy:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

To jest: # x = 0 # jest zero #3# razy.