Pytanie # 27939

Odpowiedź:

Jak zauważył Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # NIE jest zero. (Zaniedbałem to sprawdzić.) Pozostałe zera # 1-sqrt3 i # i #1#.

Wyjaśnienie:

Ponieważ wszystkie współczynniki są liczbami rzeczywistymi, wszelkie wyimaginowane zera muszą występować w parach sprzężonych.

W związku z tym, # 1-sqrt3 i # jest zero.

Jeśli #do# jest wtedy zerem # z-c # jest czynnikiem, więc możemy się pomnożyć

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # zdobyć # z ^ 2-2z + 4 #

a następnie podziel się #P (z) # przez to kwadratowe.

Ale szybciej jest rozważyć możliwe racjonalne zero # P # pierwszy. Lub dodaj współczynniki, aby to zobaczyć #1# jest równe zero.

Odpowiedź:

#1# i # 1 - sqrt3 i #

Wyjaśnienie:

W Twoim pytaniu wystąpił błąd. Korzeń powinien być # 1 + sqrt3 i #. Możesz to zweryfikować, umieszczając wartość w wyrażeniu. Jeśli jest to root, wyrażenie powinno mieć wartość zero.

Wyrażenie ma wszystkie rzeczywiste współczynniki, więc przez twierdzenie o złożonych korzeniach koniugatu (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) mamy inne złożone korzenie # 1 - sqrt3 i #, Oczywiście trzeci korzeń (powiedzmy #za#) musi być rzeczywista, ponieważ nie może mieć złożonego koniugatu; w przeciwnym razie będą 4 korzenie, co nie jest możliwe dla równania trzeciego stopnia.

Uwaga

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Od # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Spróbujemy uzyskać ten czynnik w wyrażeniu.

Możemy napisać:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Odpowiedź:

Jako wstęp myślę, że powinien być root #color (niebieski) (1 + sqrt3) # i nie #color (czerwony) (- 1 + sqrt3) #

Na tej podstawie moja odpowiedź brzmi:

#z w {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Wyjaśnienie:

Korzystając z idei złożone koniugaty i inne fajne sztuczki.

#P (z) # jest wielomianem stopnia #3#. Oznacza to, że powinien mieć tylko #3# korzenie.

Interesującym faktem na temat złożonych korzeni jest to, że nigdy nie występują same. Zawsze występują w sprzężone pary.

Więc jeśli # 1 + isqrt3 # jest jednym korzeniem, a następnie jego koniugatem: # 1-isqrt3 # z pewnością jest też korzeniem!

A ponieważ jest jeszcze jeden root, możemy nazwać ten root # z = a #.

Nie jest to liczba złożona, ponieważ złożone korzenie zawsze występują parami.

A ponieważ jest to ostatni z #3# korzenie, nie może być żadnej innej pary po pierwszej!

W końcu czynniki #P (z) # łatwo się okazało # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "i" (z-a) #

Uwaga: Zauważ, że różnica między rootem a czynnikiem jest taka, że:

- Może być korzeń # z = 1 + i #

Ale odpowiednim czynnikiem byłby # z- (1 + i) #

Druga sztuczka polega na faktoringu #P (z) # powinniśmy otrzymać coś takiego:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Następnie rozwiń klamry, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Następnie utożsamiamy to z pierwotnym wielomianem #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Ponieważ dwa wielomiany są identyczne, zrównujemy współczynniki # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #i # z ^ 0 #(stały termin) po obu stronach,

Właściwie musimy tylko wybrać jedno równanie i rozwiązać je #za#

Zrównanie stałych terminów, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

Stąd ostatni korzeń #color (niebieski) (z = 1) #