Jaki jest zakres funkcji f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Odpowiedź:

Zakres to #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Wyjaśnienie:

Zauważ, że mianownik jest niezdefiniowany za każdym razem

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, to znaczy zawsze

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

lub

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, gdzie #n w ZZ # (# n # jest liczbą całkowitą).

Tak jak # x # awanse #x_ (1, n) # od dołu #f (x) # awanse # - infty #, podczas gdy jeśli # x # awanse #x_ (1, n) # z góry wtedy #f (x) # awanse # + infty #. Wynika to z podziału na „prawie” #-0# lub #+0#'.

Dla #x_ (2, n) # sytuacja jest odwrotna. Tak jak # x # awanse #x_ (2, n) # od dołu #f (x) # awanse # + infty #, podczas gdy jeśli # x # awanse #x_ (2, n) # z góry wtedy #f (x) # awanse # -infty #.

Otrzymujemy ciąg interwałów, w których #f (x) # jest ciągły, jak widać na wykresie. Zastanów się najpierw nad „miskami” (na których końcach funkcja wieje # + infty #). Jeśli możemy znaleźć lokalne minima w tych odstępach, to wiemy o tym #f (x) # przyjmuje wszystkie wartości między tą wartością a # + infty #. Możemy zrobić to samo w przypadku „misek do góry nogami” lub „czapek”.

Zauważamy, że najmniejsza dodatnia wartość jest uzyskiwana za każdym razem, gdy mianownik jest w #f (x) # jest tak duży, jak to możliwe, to jest kiedy #sin (x) = 1 #. Stwierdzamy więc, że najmniejsza dodatnia wartość #f (x) # jest #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Największą wartość ujemną stwierdzono podobnie #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Ze względu na ciągłość #f (x) # w przerwach między nieciągłościami i twierdzeniem o wartości pośredniej możemy stwierdzić, że zakres #f (x) # jest

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Twarde nawiasy oznaczają, że liczba jest zawarta w przedziale (np. #-1/2#), podczas gdy miękkie nawiasy oznaczają, że numer nie jest uwzględniony.

wykres {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}