Prosimy rozwiązać ten problem? która opcja jest poprawna?

Jest to łatwo postrzegane jako niemożliwe do wykonania za pomocą elementarnych środków, więc po prostu rozwiązałem je numerycznie i otrzymałem:

Oceniłem integralność za #n = 1, 1,5, 2,…, 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Do tego czasu wyraźnie się zbliżało #0.5#.

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

lub

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Teraz zakładając, że jedna z odpowiedzi jest prawdziwa, najbardziej naturalna wydaje się czwarta 4)

UWAGA

dla #x w 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Odpowiedź:

#1/2#

Wyjaśnienie:

Jak już pokazano w poprzednim rozwiązaniu, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

istnieje i jest ograniczona:

# 1/2 le I_n <1 #

Teraz integracja według części daje

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n razy (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Teraz, od # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # w #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

Od #lim_ (n do oo) I_n # istnieje, mamy

#lim_ (n do oo) J_n = lim_ (n do oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n do oo) 2 / (n + 2) razy lim_ (n do oo) I_ (n + 2) = 0 #

Stąd

# lim_ (n do oo) I_n = 1/2 #