Jaka jest rozpiętość macierzy? + Przykład

Odpowiedź:

Zobacz poniżej

Wyjaśnienie:

Zbiór wektorów obejmuje przestrzeń, jeśli każdy inny wektor w przestrzeni może być zapisany jako kombinacja liniowa zestawu rozpinającego. Aby jednak zrozumieć sens tego zjawiska, musimy spojrzeć na macierz wykonaną z wektorów kolumnowych.

Oto przykład w #mathcal R ^ 2 #:

Niech nasza matryca #M = ((1,2), (3,5)) #

Ma wektory kolumnowe: #((1),(3))# i #((2),(5))#, które są liniowo niezależne, więc macierz nie pojedynczy tj. odwracalne itp. itd.

Powiedzmy, że chcemy pokazać ten uogólniony punkt # (x, y) # jest w zakresie tych 2 wektorów, tj. tak, że macierz obejmuje wszystkie #mathcal R ^ 2 #, więc szukamy rozwiązania tego:

#alpha ((1), (3)) + beta ((2), (5)) = ((x), (y)) #

Lub:

# ((1,2), (3,5)) ((alfa), (beta)) = ((x), (y)) #

Możesz rozwiązać ten problem na wiele sposobów, np. Zmniejszyć wiersz lub odwrócić M ….., aby uzyskać:

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y #

Powiedzmy, że chcemy to sprawdzić #(2,3)# jest w zakresie tej macierzy, M, stosujemy wynik, który właśnie otrzymaliśmy:

#alpha = -4 #

#beta = 3 #

Podwójne sprawdzenie:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Zastanów się nad inną macierzą: #M '= ((1,2), (2,4)) #. To jest pojedynczy ponieważ jego wektory kolumnowe, #((1),(2))# i #((2),(4))#, są zależne liniowo. Ta matryca obejmuje tylko kierunek #((1),(2))#.