Odpowiedź:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # dla #b w RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # dla #b = | b | e ^ (itheta) w CC #
Wyjaśnienie:
Poprzez fundamentalne twierdzenie algebry możemy uwzględnić podane wyrażenie jako
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
gdzie każdy # alpha_k # jest rootem # x ^ 8 + b ^ 8 #.
Rozwiązanie dla # alpha_k #, dostajemy
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | b | (-1) ^ (1/8) # (zarozumiały #b w RR #)
# = | b | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k w ZZ #
Tak jak #k w {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # rachunki wszystkich unikalnych wartości tej formy, otrzymujemy naszą faktoryzację jako, na #b w RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
Dla bardziej ogólnego #b w CC #, więc przypuśćmy #b = | b | e ^ (itheta) #, możemy przejść przez podobne obliczenia, aby znaleźć
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
znaczenie
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #
Przepraszam, pomijam kilka drobnych szczegółów, odpowiedź podana przez sente jest poprawna.
Jeżeli #b ne 0 # i # a, b w RR # mamy
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # następnie
# a / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # następnie
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # są # k = 0,1, cdots, 7 # korzenie lub czynniki.
Definiować
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
i wtedy
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
więc
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # z rzeczywistymi współczynnikami.
