Niech M i N będą macierzami, M = [(a, b), (c, d)] i N = [(e, f), (g, h)], a wektor va v = [(x), ( y)]. Pokaż, że M (Nv) = (MN) v?

Odpowiedź:

Nazywa się to prawo asocjacyjne mnożenia.

Zobacz dowód poniżej.

Wyjaśnienie:

(1) #Nv = (e, f), (g, h) * (x), (y) = (ex + fy), (gx + hy) #

(2) #M (Nv) = (a, b), (c, d) * (ex + fy), (gx + hy) = (aex + afy + bgx + bhy), (cex + cfy + dgx + dhy) #

(3) # MN = (a, b), (c, d) * (e, f), (g, h) = (ae + bg, af + bh), (ce + dg, cf + dh) #

(4) # (MN) v = (ae + bg, af + bh), (ce + dg, cf + dh) * (x), (y) = (aex + bgx + afy + bhy), (cex + dgx + cfy + dhy) #

Zauważ, że końcowe wyrażenie dla wektora w (2) jest takie samo jak końcowe wyrażenie dla wektora w (4), tylko kolejność sumowania jest zmieniana.

Koniec dowodu.

Niech A (x_a, y_a) i B (x_b, y_b) będą dwoma punktami w płaszczyźnie i niech P (x, y) będzie punktem dzielącym słupek (AB) w stosunku k: 1, gdzie k> 0. Pokaż, że x = (x_a + kx_b) / (1 + k) i y = (y_a + ky_b) / (1 + k)?

Zobacz dowód poniżej Zacznijmy od obliczenia vec (AB) i vec (AP) Zaczynamy od x vec (AB) / vec (AP) = (k + 1) / k (x_b-x_a) / (x-x_a) = (k + 1) / k Mnożenie i przemianowanie (x_b-x_a) (k) = (x-x_a) (k + 1) Rozwiązywanie dla x (k + 1) x = kx_b-kx_a + kx_a + x_a (k + 1 ) x = x_a + kx_b x = (x_a + kx_b) / (k + 1) Podobnie z y (y_b-y_a) / (y-y_a) = (k + 1) / k ky_b-ky_a = y (k +1) - (k + 1) y_a (k + 1) y = ky_b-ky_a + ky_a + y_a y = (y_a + ky_b) / (k + 1)

Niech kąt między dwoma niezerowymi wektorami A (wektor) i B (wektor) wynosi 120 (stopnie), a jego wypadkowa będzie C (wektor). Które z poniższych jest (są) poprawne?

Opcja (b) bb A * bb B = abs bbA abs bbB cos (120 ^ o) = -1/2 abs bbA abs bbB bbC = bbA + bbB C ^ 2 = (bbA + bbB) * (bbA + bbB) = A ^ 2 + B ^ 2 + 2 bbA * bb B = A ^ 2 + B ^ 2 - abs bbA abs bbB qquad kwadrat abs (bbA - bbB) ^ 2 = (bbA - bbB) * (bbA - bbB) = A ^ 2 + B ^ 2 - 2bbA * bbB = A ^ 2 + B ^ 2 + abs bbA abs bbB qquad trójkąt abs (bbA - bbB) ^ 2 - C ^ 2 = trójkąt - kwadrat = 2 abs bbA abs bbB:. C ^ 2 lt abs (bbA - bbB) ^ 2, qquad bbA, bbB ne bb0:. abs bb C lt abs (bbA - bbB)

Niech P będzie dowolnym punktem na stożkowym r = 12 / (3-sin x). Niech F¹ i F² będą odpowiednio punktami (0, 0 °) i (3, 90 °). Pokaż, że PF¹ i PF² = 9?

R = 12 / {3-sin theta} Jesteśmy proszeni o pokazanie | PF_1 | + | PF_2 | = 9, tj. P przesuwa elipsę z ogniskami F_1 i F_2. Zobacz dowód poniżej. # Poprawmy to, co zgaduję, jest literówką i powiedzmy, że P (r, theta) spełnia r = 12 / {3-sin theta} Zakres sinusa wynosi pm 1, więc wnioskujemy 4 le r le 6. 3r - r sin theta = 12 | PF_1 | = | P - 0 | = r W współrzędnych prostokątnych P = (r cos theta, r sin theta) i F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9