Zintegruj lnx / 10 ^ x?

Zintegruj lnx / 10 ^ x?
Anonim

Odpowiedź:

błąd

Wyjaśnienie:

int (lnx) / 10 ^ xdx lnx10xdx można również zapisać jako int (lnx) xx10 ^ (- x) dx (lnx)×10xdx.

Teraz możemy użyć wzoru na integrację produktu

intu * v * dx = u * v-int (v * du) uvdx=uv(vdu), gdzie u = lnx u=lnx

Jako takie mamy du = (1 / x) dx du=(1x)dx i pozwól dv = x ^ (- 10) dx dv=x10dx lub v = x ^ (- 9) / - 9 v=x99

Stąd, intu * v * dx = (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) -int (x ^ (- 9) / - 9) * dx / x uvdx=(19)lnx.x9(x99)dxxlub

= (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) intx ^ (- 10) * dx (19)lnx.x9+(19)x10dx

= (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) x ^ (- 9) / (- 9) + c (19)lnx.x9+(19)x99+c

= (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) - (1/81) x ^ (- 9) + c (19)lnx.x9(181)x9+c

= -1 / 81 (x ^ (- 9)) (9lnx + 1) + c 181(x9)(9lnx+1)+c

Odpowiedź:

Pojawia się nieskończona seria integralna dla mnie.

Wyjaśnienie:

Możemy użyć wzoru na całkę produktu dwóch funkcji u (x) i v (x) u(x)iv(x)

intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu udv=uvvdu

(regułę można po prostu uzyskać, integrując regułę różnicowania produktu)

Dana całka intln (x) // 10 ^ xcdotdx ln(x)/10xdx można zapisać jako

intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx ln(x)×10xdx

Pozwolić u = ln (x) i dv = 10 ^ (- x) cdot dx u=ln(x)idv=10xdx

od pierwszego założenia du = 1 / x cdotdx du=1xdx

z drugiej równości v = int 10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 ^ -x + C v=10xdx=1ln1010x+C

Dostajemy intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) -int (-1 / l 10 10 ^ -x + C) cdot 1 / xcdot dx ln(x)×10xdx=ln(x)(1ln1010x+C)(1l1010x+C)1xdx

Gdzie DODO jest stałą integracją.

= ln (x) cdot (-1 / l 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-intCcdot 1 / xcdot dx =ln(x)(1l1010x+C)+1ln1010x1xdxC1xdx

= ln (x) cdot (-1 / l 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-Ccdot ln | x | + C_2, =ln(x)(1l1010x+C)+1ln1010x1xdxCln|x|+C2,upraszczanie

= ln (x) cdot (-1 / l 10 10 ^ -x) + 1 / ln 10 int 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx + C_2 =ln(x)(1l1010x)+1ln1010x1xdx+C2

Zmniejsza się do znalezienia całki intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx x110xdx

Ponownie, używając powyższego wzoru całka po częściach

Pozwolić u = x ^ -1 u=x1 i dv = 10 ^ (- x) cdot dx dv=10xdx

du = -x ^ -2cdot dx du=x2dx i mamy już wartość v v

intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx = x ^ -1cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) -int (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) cdot (-x ^ -2cdot dx) x110xdx=x1(1ln1010x+C)(1ln1010x+C)(x2dx)

  1. Inspekcja ujawnia, że okazuje się, że się znajduje int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx 10xx2dx i tak dalej.
  2. Funkcjonować ln (x) ln(x) jest zdefiniowany tylko dla x> 0 x>0
  3. Całka wydaje się być nieskończoną całką szeregową.

Odpowiedź:

(lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln (ln_10 y) -1) (lny)(ln(ln10y))lny=(lny)(ln(ln10y)1)

Następnie włóż 10 ^ x 10x dla y y

(ln 10 ^ x) (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x (ln10x)(ln(ln1010x)ln10x

Wyjaśnienie:

Pozwolić y = 10 ^ x y=10x

lny = ln10 ^ x lny=ln10x

lny = x * ln10 lny=xln10

x = lny / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y x=lnyln10=ln10y=log10e×logey

:. dx = log_10exx1 / yxxdy

int (ln (ln_10 y)) / yxxlog_10exx1 / yxxdy

= int (ln (ln_10 y)) / y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln (ln_10 y) = ln (1 / ln10 * lny), dv = 1 / y

du = 1 / (ln y / ln10) * 1 / (yln10) = (ln10 / lny) (1 / (yln10)) = 1 / (ylny)

v = lny

uv-intvdu -> (ln (ln_10 y)) lny-intlny * 1 / (ylny)

(lny) (ln (ln_10 y)) - int1 / y

(lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln_10 y-1)

Następnie włóż 10 ^ x dla y

ln 10 ^ x (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x

DOWÓD:

d / dy ((lny) (ln (ln_10 y) -1))

f = lny, g = ln (ln_10 y) -1)

f '= 1 / y, g' = (1 / ln_10y) (1 / (yln10))

fg '+ gf' ---> reguła produktu

lny * (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y

lny (1 / (lny / ln10)) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y

lny (ln10 / lny) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y

1 / y + (ln (ln_10 y) -1) / y

((1 + ln (ln_10 y) -1)) / y

(ln (ln_10y)) / y

ln (x) / 10 ^ x ---> ln_10 y = x z góry