Zintegruj lnx / 10 ^ x?

Odpowiedź:

błąd

Wyjaśnienie:

#int (lnx) / 10 ^ xdx # można również zapisać jako #int (lnx) xx10 ^ (- x) dx #.

Teraz możemy użyć wzoru na integrację produktu

# intu * v * dx = u * v-int (v * du) #, gdzie # u = lnx #

Jako takie mamy # du = (1 / x) dx # i pozwól # dv = x ^ (- 10) dx # lub # v = x ^ (- 9) / - 9 #

Stąd, # intu * v * dx = (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) -int (x ^ (- 9) / - 9) * dx / x #lub

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) intx ^ (- 10) * dx #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) x ^ (- 9) / (- 9) + c #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) - (1/81) x ^ (- 9) + c #

= # -1 / 81 (x ^ (- 9)) (9lnx + 1) + c #

Odpowiedź:

Pojawia się nieskończona seria integralna dla mnie.

Wyjaśnienie:

Możemy użyć wzoru na całkę produktu dwóch funkcji #u (x) i v (x) #

# intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu #

(regułę można po prostu uzyskać, integrując regułę różnicowania produktu)

Dana całka #intln (x) // 10 ^ xcdotdx # można zapisać jako

#intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx #

Pozwolić # u = ln (x) i dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

od pierwszego założenia # du = 1 / x cdotdx #

z drugiej równości # v = int 10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 ^ -x + C #

Dostajemy #intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) -int (-1 / l 10 10 ^ -x + C) cdot 1 / xcdot dx #

Gdzie #DO# jest stałą integracją.

# = ln (x) cdot (-1 / l 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-intCcdot 1 / xcdot dx #

# = ln (x) cdot (-1 / l 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-Ccdot ln | x | + C_2, #upraszczanie

# = ln (x) cdot (-1 / l 10 10 ^ -x) + 1 / ln 10 int 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx + C_2 #

Zmniejsza się do znalezienia całki # intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx #

Ponownie, używając powyższego wzoru całka po częściach

Pozwolić # u = x ^ -1 # i # dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

# du = -x ^ -2cdot dx # i mamy już wartość # v #

# intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx = x ^ -1cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) -int (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) cdot (-x ^ -2cdot dx) #

1. Inspekcja ujawnia, że okazuje się, że się znajduje #int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx # i tak dalej.
2. Funkcjonować #ln (x) # jest zdefiniowany tylko dla #x> 0 #
3. Całka wydaje się być nieskończoną całką szeregową.

Odpowiedź:

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln (ln_10 y) -1) #

Następnie włóż # 10 ^ x # dla #y #

# (ln 10 ^ x) (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

Wyjaśnienie:

Pozwolić # y = 10 ^ x #

# lny = ln10 ^ x #

# lny = x * ln10 #

# x = lny / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y #

#:. dx = log_10exx1 / yxxdy #

#int (ln (ln_10 y)) / yxxlog_10exx1 / yxxdy #

# = int (ln (ln_10 y)) / y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln (ln_10 y) = ln (1 / ln10 * lny), dv = 1 / y #

# du = 1 / (ln y / ln10) * 1 / (yln10) = (ln10 / lny) (1 / (yln10)) = 1 / (ylny) #

# v = lny #

# uv-intvdu -> (ln (ln_10 y)) lny-intlny * 1 / (ylny) #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - int1 / y #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln_10 y-1) #

Następnie włóż # 10 ^ x # dla #y #

#ln 10 ^ x (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

#DOWÓD:#

# d / dy ((lny) (ln (ln_10 y) -1)) #

# f = lny, g = ln (ln_10 y) -1) #

# f '= 1 / y, g' = (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) #

# fg '+ gf' #---> reguła produktu

#lny * (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

#lny (1 / (lny / ln10)) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# lny (ln10 / lny) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# 1 / y + (ln (ln_10 y) -1) / y #

# ((1 + ln (ln_10 y) -1)) / y #

# (ln (ln_10y)) / y #

#ln (x) / 10 ^ x #---># ln_10 y = x # z góry