Zintegruj lnx / 10 ^ x?

Zintegruj lnx / 10 ^ x?
Anonim

Odpowiedź:

błąd

Wyjaśnienie:

int (lnx) / 10 ^ xdx można również zapisać jako int (lnx) xx10 ^ (- x) dx .

Teraz możemy użyć wzoru na integrację produktu

intu * v * dx = u * v-int (v * du) , gdzie u = lnx

Jako takie mamy du = (1 / x) dx i pozwól dv = x ^ (- 10) dx lub v = x ^ (- 9) / - 9

Stąd, intu * v * dx = (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) -int (x ^ (- 9) / - 9) * dx / x lub

= (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) intx ^ (- 10) * dx

= (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) x ^ (- 9) / (- 9) + c

= (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) - (1/81) x ^ (- 9) + c

= -1 / 81 (x ^ (- 9)) (9lnx + 1) + c

Odpowiedź:

Pojawia się nieskończona seria integralna dla mnie.

Wyjaśnienie:

Możemy użyć wzoru na całkę produktu dwóch funkcji u (x) i v (x)

intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu

(regułę można po prostu uzyskać, integrując regułę różnicowania produktu)

Dana całka intln (x) // 10 ^ xcdotdx można zapisać jako

intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx

Pozwolić u = ln (x) i dv = 10 ^ (- x) cdot dx

od pierwszego założenia du = 1 / x cdotdx

z drugiej równości v = int 10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 ^ -x + C

Dostajemy intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) -int (-1 / l 10 10 ^ -x + C) cdot 1 / xcdot dx

Gdzie DO jest stałą integracją.

= ln (x) cdot (-1 / l 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-intCcdot 1 / xcdot dx

= ln (x) cdot (-1 / l 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-Ccdot ln | x | + C_2, upraszczanie

= ln (x) cdot (-1 / l 10 10 ^ -x) + 1 / ln 10 int 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx + C_2

Zmniejsza się do znalezienia całki intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx

Ponownie, używając powyższego wzoru całka po częściach

Pozwolić u = x ^ -1 i dv = 10 ^ (- x) cdot dx

du = -x ^ -2cdot dx i mamy już wartość v

intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx = x ^ -1cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) -int (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) cdot (-x ^ -2cdot dx)

  1. Inspekcja ujawnia, że okazuje się, że się znajduje int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx i tak dalej.
  2. Funkcjonować ln (x) jest zdefiniowany tylko dla x> 0
  3. Całka wydaje się być nieskończoną całką szeregową.

Odpowiedź:

(lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln (ln_10 y) -1)

Następnie włóż 10 ^ x dla y

(ln 10 ^ x) (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x

Wyjaśnienie:

Pozwolić y = 10 ^ x

lny = ln10 ^ x

lny = x * ln10

x = lny / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y

:. dx = log_10exx1 / yxxdy

int (ln (ln_10 y)) / yxxlog_10exx1 / yxxdy

= int (ln (ln_10 y)) / y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln (ln_10 y) = ln (1 / ln10 * lny), dv = 1 / y

du = 1 / (ln y / ln10) * 1 / (yln10) = (ln10 / lny) (1 / (yln10)) = 1 / (ylny)

v = lny

uv-intvdu -> (ln (ln_10 y)) lny-intlny * 1 / (ylny)

(lny) (ln (ln_10 y)) - int1 / y

(lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln_10 y-1)

Następnie włóż 10 ^ x dla y

ln 10 ^ x (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x

DOWÓD:

d / dy ((lny) (ln (ln_10 y) -1))

f = lny, g = ln (ln_10 y) -1)

f '= 1 / y, g' = (1 / ln_10y) (1 / (yln10))

fg '+ gf' ---> reguła produktu

lny * (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y

lny (1 / (lny / ln10)) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y

lny (ln10 / lny) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y

1 / y + (ln (ln_10 y) -1) / y

((1 + ln (ln_10 y) -1)) / y

(ln (ln_10y)) / y

ln (x) / 10 ^ x ---> ln_10 y = x z góry