Pytanie # f3eb0

Odpowiedź:

#c = 2/3 #

Wyjaśnienie:

Dla #f (x) # być ciągłym w #x = 2 #, musi być prawdziwe:

• #lim_ (x-> 2) f (x) # istnieje.
• #f (2) # istnieje (nie ma tu problemu #f (x) # jest jasno zdefiniowany w #x = 2 #

Zbadajmy pierwszy postulat. Wiemy, że aby istniał limit, limity lewej i prawej ręki muszą być równe. Matematycznie:

#lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) #

Pokazuje to również, dlaczego jesteśmy zainteresowani tylko #x = 2 #: To jedyna wartość # x # dla których ta funkcja jest zdefiniowana jako różne rzeczy po prawej i lewej stronie, co oznacza, że istnieje prawdopodobieństwo, że limity lewej i prawej ręki mogą nie być równe.

Spróbujemy znaleźć wartości „c”, dla których te limity są równe.

Wracając do funkcji fragmentarycznej, widzimy, że na lewo od #2#, #f (x) = cx ^ 2 + 2x #. Alternatywnie, na prawo od #x = 2 #, widzimy to #f (x) = x ^ 3-cx #

Więc:

#lim_ (x-> 2) cx ^ 2 + 2x = lim_ (x-> 2) x ^ 3 - cx #

Ocena limitów:

# (2) ^ 2c + 2 (2) = (2) ^ 3 - (2) c #

# => 4c + 4 = 8 - 2c #

Stąd tylko kwestia rozwiązania #do#:

# 6c = 4 #

#c = 2/3 #

Co znaleźliśmy? Cóż, ustaliliśmy wartość #do# to sprawi, że ta funkcja będzie ciągła wszędzie. Każda inna wartość #do# a limity prawej i lewej ręki nie będą sobie równe, a funkcja nie będzie ciągła wszędzie.

Aby uzyskać wizualne wyobrażenie o tym, jak to działa, sprawdź ten interaktywny wykres, który stworzyłem. Wybierz różne wartości #do#i zobacz, jak funkcja przestaje być ciągła w #x = 2 #!

Mam nadzieję, że to pomogło:)