Jaka jest domena i zakres ƒ (x) = (5x + 15) / ((x ^ 2) +1)?

Odpowiedź:

Patrz wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Zakres to zbiór liczb rzeczywistych #D (f) = R #.

Dla ustalonego zakresu # y = f (x) # i rozwiązujemy w odniesieniu do # x #

Stąd

# y = (5x + 5) / (x ^ 2 + 1) => y * (x ^ 2 + 1) = 5x + 5 => x ^ 2 * (y) -5x + (y-5) = 0 #

Ostatnie równanie jest trójmianem względem x. Aby mieć znaczenie w liczbach rzeczywistych, jego wyróżnik musi być równy lub większy od zera.

# (- 5) ^ 2-4 * y * (y-5)> = 0 => - 4y ^ 2 + 20y + 25> = 0 #

Ostatni jest zawsze prawdziwy dla następujących wartości # y #

# -5 / 2 (sqrt2-1) <= y <= 5/2 (sqrt2 + 1) #

Stąd zasięg

#R (f) = - 5/2 (sqrt2-1), 5/2 (sqrt2 + 1) #

Niech domena f (x) będzie [-2.3], a zakres będzie [0,6]. Jaka jest domena i zakres f (-x)?

Domena to przedział [-3, 2]. Zakres to przedział [0, 6]. Dokładnie tak, jak jest, nie jest to funkcja, ponieważ jej domeną jest tylko liczba -2.3, a jej zasięg to przedział. Ale zakładając, że jest to tylko literówka, a rzeczywistą domeną jest przedział [-2, 3], jest to następujące: Niech g (x) = f (-x). Ponieważ f wymaga, aby jego niezależna zmienna przyjmowała wartości tylko w przedziale [-2, 3], -x (ujemny x) musi znajdować się w przedziale [-3, 2], co jest domeną g. Ponieważ g uzyskuje swoją wartość za pomocą funkcji f, jej zasięg pozostaje taki sam, bez względu na to, co użyjemy jako zmiennej niezależnej.

Jaka jest domena i zakres 3x-2 / 5x + 1 oraz domena i zakres odwrotności funkcji?

Domeną są wszystkie reale z wyjątkiem -1/5, która jest zakresem odwrotności. Zakres to wszystkie reale z wyjątkiem 3/5, który jest domeną odwrotności. f (x) = (3x-2) / (5x + 1) jest zdefiniowane i wartości rzeczywiste dla wszystkich x z wyjątkiem -1/5, więc jest to domena f i zakres f ^ -1 Ustawienie y = (3x -2) / (5x + 1) i rozwiązywanie dla x wydajności 5xy + y = 3x-2, więc 5xy-3x = -y-2, a zatem (5y-3) x = -y-2, więc w końcu x = (- y-2) / (5y-3). Widzimy, że y! = 3/5. Tak więc zakres f to wszystkie reale z wyjątkiem 3/5. Jest to również domena f ^ -1.

Jeśli f (x) = 3x ^ 2 i g (x) = (x-9) / (x + 1) i x! = - 1, to co f (g (x)) będzie równe? g (f (x))? f ^ -1 (x)? Jaka byłaby domena, zakres i zera dla f (x)? Jaka byłaby domena, zakres i zera dla g (x)?

F (g (x)) = 3 ((x-9) / (x + 1)) ^ 2 g (f (x)) = (3x ^ 2-9) / (3x ^ 2 + 1) f ^ - 1 (x) = root () (x / 3) D_f = {x w RR}, R_f = {f (x) w RR; f (x)> = 0} D_g = {x w RR; x! = - 1}, R_g = {g (x) w RR; g (x)! = 1}