Uprość całkowicie: 1 - 2 w ^ 2 20 °?

Odwołaj to

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

A zatem

#cos (40) = 1 - 2s ^ 2 (20) #

Dlatego nasze wyrażenie jest równoważne #cos (40) #.

Mam nadzieję, że to pomoże!

Odpowiedź:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

Wyjaśnienie:

„Całkowicie” to niewyraźny cel w trig, jak zobaczymy.

Po pierwsze, celem tego problemu jest rozpoznanie sinusoidalnej formuły cosinusa z podwójnym kątem:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - sin theta grzech theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1- sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

Pisząc to dla # theta = 20 ^ circ #, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

Prawdopodobnie #cos 40 ^ circ # jest wynikiem „całkowicie uproszczonym”.

To jest odpowiedź. Monzur sugeruje, abym dał ostrzeżenie przed następną częścią. Jest całkowicie opcjonalny; czytaj dalej, jeśli chcesz wiedzieć więcej na ten temat #cos 40 ^ circ # i przestań czytać, jeśli tego nie zrobisz.

#cos 40 ^ circ # jest w pełni uproszczony, ponieważ tak naprawdę nie ma lepszego wyrażenia, które możemy dla niego zapisać niż #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ circ # nie jest możliwe do skonstruowania za pomocą prostej linii i kompasu. Oznacza to, że jego funkcje trig nie są wynikiem liczb całkowitych składających się z dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków kwadratowych.

#cos 40 ^ circ # jest właściwie korzeniem równania wielomianowego ze współczynnikami całkowitymi. # theta = 40 ^ circ # spełnia równanie #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. Jeśli #x = cos theta, # to jest #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # gdzie # T #s są wielomianami Czebyszewa pierwszego rodzaju. Zamiast formuł z podwójnym i potrójnym kątem są to wzory 44-krotne i 46-krotne.

Więc #cos (40 ^ circ) # jest jednym z czterdziestu sześciu korzeni:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 30 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 29784143879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 - 2978414327758848 x ^ 26 - 2978414327758848 x ^ 26 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

To wcale nie jest proste.