Jakie są absolutne ekstrema f (x) = cos (1 / x) xsin (1 / x) w [-1 / pi, 1 / pi]?

Odpowiedź:

Istnieje nieskończona liczba względnych ekstremów #x w -1 / pi, 1 / pi # są na #f (x) = + - 1 #

Wyjaśnienie:

Najpierw podłączmy punkty końcowe interwału # - 1 / pi, 1 / pi # do funkcji, aby zobaczyć zachowanie końcowe.

#f (-1 / pi) = - 1 #

#f (1 / pi) = - 1 #

Następnie określamy punkty krytyczne, ustawiając pochodną na zero.

#f '(x) = 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) sin (1 / x) -sin (1 / x) #

# 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) sin (1 / x) -sin (1 / x) = 0 #

Niestety, kiedy wykresujesz to ostatnie równanie, otrzymujesz następujące

Ponieważ wykres pochodnej ma nieskończoną liczbę korzeni, pierwotna funkcja ma nieskończoną liczbę ekstremów lokalnych. Można to również zobaczyć, patrząc na wykres oryginalnej funkcji.

Jednak żaden z nich nigdy nie przewyższył #+-1#

Jakie są absolutne ekstrema f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) w [1,4]?

Nie ma globalnych maksimów. Globalne minima wynoszą -3 i występują przy x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, gdzie x 1 f '(x) = 2x - 6 Bezwzględne ekstrema występuje na punkcie końcowym lub na liczba krytyczna. Punkty końcowe: 1 i 4: x = 1 f (1): „niezdefiniowane” lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Punkt (y) krytyczny: f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 At x = 3 f (3) = -3 Nie ma globalnych maksimów. Nie ma globalnych minimów -3 i występuje przy x = 3.

Jakie są absolutne ekstrema f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) w [oo, oo]?

X = 0 to maksimum funkcji. f (x) = 1 / (1 + x²) Przeszukajmy f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Widzimy więc, że istnieje unikalne rozwiązanie, f ' (0) = 0 A także, że to rozwiązanie jest maksimum funkcji, ponieważ lim_ (x do ± oo) f (x) = 0 i f (0) = 1 0 / oto nasza odpowiedź!

Jakie są absolutne ekstrema y = cos ^ 2 x - sin ^ 2 x w przedziale [-2,2]?

Cos ^ 2x-sin ^ 2x = cos (2x), który ma maksymalną wartość 1 (przy x = 0) i minimalną wartość -1 (przy 2x = pi więc x = pi / 2)