Punkty (2, 9) i (1, 3) to (3 pi) / 4 radiany na okręgu. Jaka jest najkrótsza długość łuku między punktami?

Odpowiedź:

6,24 jednostki

Wyjaśnienie:

Z powyższego rysunku wynika, że najkrótszy # arcAB # posiadające punkt końcowy A (2,9) i B (1,3) ulegną zmianie # pi / 4 # kąt rad w środku O okręgu. Akord AB uzyskuje się przez połączenie A, B. Prostopadły OC jest również rysowany na nim w C od środka O.

Teraz trójkąt OAB jest równoramienny o OA = OB = r (promień okręgu)

Oc bisects # / _ AOB # i # / _ AOC # staje się # pi / 8 #.

PonownieAC = BC# = 1 / 2AB = 1/2 * sqrt ((2-1) ^ 2 + (9-3) ^ 2) = 1 / 2sqrt37 #

#:. AB = sqrt37 #

Teraz # AB = AC + BC = rsin / _AOC + rsin / _BOC = 2rsin (pi / 8) #

# r = 1 / 2AB * (1 / sin (pi / 8)) = 1 / 2sqrt37csc (pi / 8) #

Teraz, Najkrótsza długość łuku AB = Promień# * / _ AOB = r * / _ AOB = r * (pi / 4) = 1 / 2sqrt37csc (pi / 8) * (pi / 4) = 6,24 #jednostka

Łatwiej dzięki właściwościom trójkąta

# r / sin (3pi / 8) = (AB) / sin (pi / 4) #

# r = (AB) / sin (pi / 4) * (sin (3pi / 8)) = sqrt2AB * sin (3pi / 8) #

Teraz

Najkrótsza długość łuku AB = Promień# * / _ AOB = r * / _ AOB = r * (pi / 4) = sqrt2AB * sin (3pi / 8) * pi / 4 = 6,24 # jednostka