Jaki jest obszar trójkąta, którego wierzchołki są punktami o współrzędnych (3,2) (5,10) i (8,4)?

Odpowiedź:

Patrz wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Pierwsze rozwiązanie

Możemy użyć formuły Heron, która stwierdza

Obszar trójkąta o bokach a, b, c jest równy

# S = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) # gdzie # s = (a + b + c) / 2 #

Nie, używając formuły, aby znaleźć odległość między dwoma punktami

#A (x_A, y_A), B (x_B, y_B) #który jest

# (AB) = sqrt ((x_A-x_B) ^ 2 + (y_A-y_B) ^ 2 #

możemy obliczyć długość boków między trzema podanymi punktami

powiedzmy #A (3,2) # #B (5,10) #, #C (8,4) #

Następnie zastępujemy formułą Herona.

Drugie rozwiązanie

Wiemy o tym, jeśli # (x_1, y_1), (x_2, y_2) # i # (x_3, y_3) # są wierzchołkami trójkąta, a powierzchnia trójkąta jest określona przez:

Obszar trójkąta# = (1/2) | {(x2-x1) (y2 + y1) + (x3-x2) (y3 + y1) + (x1-x3) (y1 + y2)} | #

Dlatego obszar trójkąta, którego wierzchołki są #(3,2), (5,10), (8,4)# jest dany przez:

Obszar trójkąta# = (1/2) | {(5-3) (10 + 2) + (8-5) (4 + 2) + (3-8) (2 + 10)} | = abs (1/2 (24 + 18-60)) = 9 #

Odpowiedź:

#18#

Wyjaśnienie:

Metoda 1: Geometryczna

#triangle ABC = PQRS - (triangleAPB + triangleBQC + ACRS) #

#PQRS = 5xx10 = 50 #

# trójkąt APB = 1/2 (8xx2) = 8 #

#triangle BQC = 1/2 (3xx6) = 9 #

#ACRS = (2 + 4) / 2xx5 = 15 #

#triangle ABC = 50 - (8 + 9 + 15) = 50 -32 = 18 #

Metoda 2: Formuła czapli

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długości boków #triangle ABC #

wtedy możemy użyć Formuły Herona dla obszaru trójkąta biorąc pod uwagę długości jego boków.

Ze względu na liczbę wymaganych obliczeń (i konieczność oceny pierwiastków kwadratowych) zrobiłem to w arkuszu kalkulacyjnym:

Znowu (na szczęście) dostałem odpowiedź #18# dla tego obszaru