Czym jest tożsamość Half-Angle?

Czym jest tożsamość Half-Angle?
Anonim

Tożsamości połowy kąta są zdefiniowane w następujący sposób:

# Mathbf (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / 2)) #

#(+)# dla ćwiartek ja i II

#(-)# dla ćwiartek III i IV

# Mathbf (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cosx) / 2)) #

#(+)# dla ćwiartek ja i IV

#(-)# dla ćwiartek II i III

# Mathbf (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / (1 + cosx))) #

#(+)# dla ćwiartek ja i III

#(-)# dla ćwiartek II i IV

Możemy je wyprowadzić z następujących tożsamości:

# sin ^ 2x = (1-cos (2x)) / 2 #

# sin ^ 2 (x / 2) = (1-cos (x)) / 2 #

#color (niebieski) (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) #

Wiedząc jak # sinx # jest pozytywny #0-180^@# i minus za #180-360^@#, wiemy, że jest pozytywny dla ćwiartek ja i II i minus za III i IV.

# cos ^ 2x = (1 + cos (2x)) / 2 #

# cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cos (x)) / 2 #

#color (niebieski) (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

Wiedząc jak # cosx # jest pozytywny #0-90^@# i #270-360^@#i negatywne dla #90-270^@#, wiemy, że jest pozytywny dla ćwiartek ja i IV i minus za II i III.

#tan (x / 2) = sin (x / 2) / (cos (x / 2)) = (pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) / (pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

#color (niebieski) (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / (1 + cos (x)))) #

Widzimy to, jeśli przyjmujemy warunki dla wartości dodatnich i ujemnych z # sinx # i # cosx # i podziel je, otrzymujemy, że jest to pozytywne dla ćwiartek ja i III i minus za II i IV.