Jakie jest nachylenie linii normalnej do linii stycznej f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) przy x = (15pi) / 8?

Odpowiedź:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Interaktywny wykres

Wyjaśnienie:

Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, to obliczyć #f '(x) # w #x = (15pi) / 8 #.

Zróbmy to określenie po terminie. Dla # sec ^ 2 (x) # termin, zauważ, że mamy dwie wbudowane w siebie funkcje: # x ^ 2 #, i #sec (x) #. Więc musimy użyć reguły łańcucha tutaj:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2 sekundy (x) * d / dx (sec (x)) #

#color (niebieski) (= 2 sekundy ^ 2 (x) tan (x)) #

W drugim semestrze będziemy musieli użyć reguły produktu. Więc:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = kolor (czerwony) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + kolor (czerwony) (d / dxcos (x-pi / 4)) (x) #

#color (niebieski) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Możesz się zastanawiać, dlaczego nie użyliśmy reguły łańcuchowej dla tej części, ponieważ mamy # (x - pi / 4) # wewnątrz cosinusa. Odpowiedź brzmi pośrednio, ale zignorowaliśmy to. Zauważ, jak pochodna # (x - pi / 4) # jest po prostu 1? Dlatego mnożenie tego nie zmienia niczego, więc nie wypisujemy go w obliczeniach.

Teraz składamy wszystko razem:

# d / dx (sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = kolor (fioletowy) (2 sekundy ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Obserwuj swoje znaki.

Teraz musimy znaleźć nachylenie linii stycznej do #f (x) # w #x = (15pi) / 8 #. Aby to zrobić, po prostu podłączamy tę wartość do #f '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2 sekundy ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = kolor (fioletowy) (~~ -6,79) #

Jednak nie chcemy linii stycznej do f (x), ale linii normalna do tego. Aby to uzyskać, bierzemy ujemną odwrotność nachylenia powyżej.

#m_ (norm) = -1 / -15,78 kolor (fioletowy) (~~ 0,015) #

Teraz dopasowujemy wszystko do kształtu nachylenia punktu:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Spójrz na ten interaktywny wykres, aby zobaczyć, jak to wygląda!

Mam nadzieję, że to pomogło:)