Jak rozwiązać te pytania?

Odpowiedź:

Dla równania #cos (theta) -sin (theta) = 1 #, rozwiązaniem jest # theta = 2kpi # i # -pi / 2 + 2kpi # dla liczb całkowitych # k #

Wyjaśnienie:

Drugie równanie to #cos (theta) -sin (theta) = 1 #.

Rozważmy równanie #sin (pi / 4) cos (theta) -cos (pi / 4) sin (theta) = sqrt (2) / 2 #. Zauważ, że jest to równoznaczne z poprzednim równaniem jako #sin (pi / 4) = cos (pi / 4) = sqrt (2) / 2 #.

Następnie, wykorzystując to #sin (alphapmbeta) = sin (alfa) cos (beta) pmcos (alfa) sin (beta) #mamy równanie:

#sin (pi / 4-theta) = sqrt (2) / 2 #.

Przypomnij sobie to #sin (x) = sqrt (2) / 2 # gdy # x = pi / 4 + 2kpi # i # x = (3pi) / 4 + 2kpi # dla liczb całkowitych # k #.

A zatem, # pi / 4-theta = pi / 4 + 2kpi #

lub

# pi / 4-theta = (3pi) / 4 + 2kpi #

Wreszcie mamy # theta = 2kpi # i # -pi / 2 + 2kpi # dla liczb całkowitych # k #.

Odpowiedź:

Dla równania #tan (theta) -3cot (theta) = 0 #, rozwiązaniem jest # theta = pi / 3 + kpi # lub # theta = (2pi) / 3 + kpi # dla liczb całkowitych # k #.

Wyjaśnienie:

Rozważmy pierwsze równanie #tan (theta) -3cot (theta) = 0 #. Wiemy to #tan (theta) = 1 / łóżeczko (theta) = sin (theta) / cos (theta) #.

A zatem, #sin (theta) / cos (theta) - (3cos (theta)) / sin (theta) = 0 #.

Następnie, # (sin ^ 2 (theta) -3cos ^ 2 (theta)) / (sin (theta) cos (theta)) = 0 #.

Teraz jeśli #sin (theta) cos (theta) 0 #, możemy bezpiecznie pomnożyć obie strony przez #sin (theta) cos (theta) #. Pozostawia to równanie:

# sin ^ 2 (theta) -3color (czerwony) (cos ^ 2 (theta)) = 0 #

Teraz użyj tożsamości # cos ^ 2 (theta) = kolor (czerwony) (1-sin ^ 2 (theta)) # w czerwoną część równania powyżej. Zastępowanie tego daje nam:

# sin ^ 2 (theta) -3 (kolor (czerwony) (1-sin ^ 2 (theta))) = 0 #

# 4sin ^ 2 (theta) -3 = 0 #

# sin ^ 2 (theta) = 3/4 #

#sin (theta) = pmsqrt (3) / 2 #

Rozwiązaniem jest więc # theta = pi / 3 + kpi # lub # theta = (2pi) / 3 + kpi # dla liczb całkowitych # k #.

(Przypomnijmy sobie, że potrzebowaliśmy #sin (theta) cos (theta) 0 #. Żadne z powyższych rozwiązań nie dałoby nam tego #sin (theta) cos (theta) = 0 #, więc tu jest dobrze.)