Jak znaleźć objętość obszaru otoczonego przez krzywe y = x ^ 2 - 1 i y = 0 obrócone wokół linii x = 5?

Odpowiedź:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Wyjaśnienie:

Aby obliczyć tę objętość, będziemy w pewnym sensie ciąć ją na (nieskończenie cienkie) plasterki.

Wyobrażamy sobie region, aby pomóc nam w tym, załączyłem wykres, w którym region jest częścią pod krzywą. Zauważamy to # y = x ^ 2-1 # przekracza linię # x = 5 # gdzie # y = 24 # i że przekracza linię # y = 0 # gdzie # x = 1 # wykres {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Podczas cięcia tego obszaru w poziomych plasterkach o wysokości # dy # (bardzo mała wysokość). Długość tych plasterków zależy w dużym stopniu od współrzędnej y. aby obliczyć tę długość, musimy znać odległość od punktu # (y, x) # na linii # y = x ^ 2-1 # do punktu (5, y). Oczywiście tak jest # 5-x #, ale chcemy wiedzieć, od czego to zależy # y #. Od # y = x ^ 2-1 #, wiemy # x ^ 2 = y + 1 #, ponieważ mamy #x> 0 # w regionie jesteśmy zainteresowani, # x = sqrt (y + 1) #, dlatego odległość ta zależy od # y #, które będziemy oznaczać jako #r (y) # jest dany przez #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Teraz obracamy ten region dookoła # x = 5 #oznacza to, że każdy plasterek staje się walcem o wysokości # dy # i promień #r (y) #, a więc objętość #pir (y) ^ 2dy #. Wszystko, co musimy teraz zrobić, to zsumować te nieskończenie małe objętości za pomocą integracji. Zauważamy to # y # idzie od #0# do #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.