Jak znaleźć objętość bryły wygenerowaną przez obrócenie regionu ograniczonego przez krzywe y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) obrócone o y = 4?

Odpowiedź:

# V = 685 / 32pi # jednostki sześcienne

Wyjaśnienie:

Najpierw naszkicuj wykresy.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

# x #-przechwycić

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # I mamy to # {(x = 0), (x = 1):} #

Tak więc przechwytuje #(0,0)# i #(1,0)#

Uzyskaj wierzchołek:

# y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Więc wierzchołek jest na #(1/2,-1/4)#

Powtórz poprzednie:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # I mamy to # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Tak więc przechwytuje # (sqrt (3), 0) # i # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Więc wierzchołek jest na #(0,3)#

Wynik:

Jak uzyskać głośność? Użyjemy metoda dysku!

Ta metoda polega po prostu na: # "Volume" = piint_a ^ by ^ 2dx #

Pomysł jest prosty, ale trzeba go używać mądrze.

I to właśnie zrobimy.

Nazwijmy nasz tom # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

Uwaga: biorę # (4-y) # bo # y # to tylko odległość od # x #- osi do krzywej, podczas gdy chcemy odległości od linii # y = 4 # na krzywej!

Teraz znajdź #za# i #b#, utożsamiamy się # y_1 # i # y_2 # a następnie rozwiązać # x #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = -1):} #

Od #za# przychodzi wcześniej #b#, # => a = -1 # i # b = 1,5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1,5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1,5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Zrób to samo dla # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1,5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1,5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1.5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = kolor (niebieski) ((685pi) / 32) #