Jak podzielić (i + 3) / (-3i +7) w formie trygonometrycznej?

Odpowiedź:

# 0.311 + 0.275i #

Wyjaśnienie:

Najpierw przepisam wyrażenia w formie # a + bi #

# (3 + i) / (7-3i) #

Dla liczby zespolonej # z = a + bi #, # z = r (costheta + isintheta) #, gdzie:

# r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #
# theta = tan ^ -1 (b / a) #

Zadzwońmy # 3 + i # # z_1 # i # 7-3i # # z_2 #.

Dla # z_1 #:

# z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) #

# r_1 = sqrt (3 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) #

# theta_1 = tan ^ -1 (1/3) = 0,32 ^ c #

# z_1 = sqrt (10) (cos (0.32) + isin (0.32)) #

Dla # z_2 #:

# z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# r_2 = sqrt (7 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (58) #

# theta_2 = tan ^ -1 (-3/7) = - 0,40 ^ c #

Jednak od tego czasu # 7-3i # znajduje się w kwadrancie 4, musimy uzyskać ekwiwalent kąta dodatniego (kąt ujemny idzie wokół koła zgodnie z ruchem wskazówek zegara i potrzebujemy kąta przeciwnego do ruchu wskazówek zegara).

Aby uzyskać ekwiwalent kąta dodatniego, dodajemy # 2pi #, # tan ^ -1 (-3/7) + 2pi = 5,88 ^ c #

# z_2 = sqrt (58) (cos (5,88) + isin (5,88)) #

Dla # z_1 / z_2 #:

# z_1 / z_2 = r_1 / r_2 (cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) #

#color (biały) (z_1 / z_2) = sqrt (10) / sqrt (58) (cos tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi) + isin tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi)) #

#color (biały) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi + isin tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi) #

#color (biały) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos (-5.56) + isin (-5.56)) #

#color (biały) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29cos (-5.56) + isqrt (145) / 29sin (-5.56) #

#color (biały) (z_1 / z_2) = 0,311 + 0,275i #

Dowód:

# (3 + i) / (7-3i) * (7 + 3i) / (7 + 3i) = ((3 + i) (7 + 3i)) / ((7-3i) (7 + 3i)) = (21 + 7i + 9i + 3i ^ 2) / (49 + 21i-21i-9i ^ 2) = (21 + 16i + 3i ^ 2) / (49-9i ^ 2) #

# i ^ 2 = -1 #

# = (21 + 16i-3) / (49 + 9) = (18 + 16i) /58=9/29+8/29i~~0.310+0.275i#

Jak podzielić (2i + 5) / (-7 i + 7) w formie trygonometrycznej?

0.54 (cos (1.17) + isin (1.17)) Podzielmy je na dwie oddzielne liczby zespolone, z których pierwsza to licznik, 2i + 5 i jeden mianownik, -7i + 7. Chcemy je przenieść z formy liniowej (x + iy) do trygonometrycznej (r (costheta + isintheta), gdzie theta jest argumentem, a r jest modułem. Dla 2i + 5 otrzymujemy r = sqrt (2 ^ 2 + 5 ^ 2 ) = sqrt29 tantheta = 2/5 -> theta = arctan (2/5) = 0,38 "rad" i dla -7i + 7 otrzymujemy r = sqrt ((- 7) ^ 2 + 7 ^ 2) = 7sqrt2 Opracowywanie argument dla drugiego jest trudniejszy, ponieważ musi być między -pi a pi. Wiemy, że -7i + 7 musi znajdować się w czwartym kwadrancie, w

Jak podzielić (i + 2) / (9i + 14) w formie trygonometrycznej?

0.134-0.015i Dla liczby zespolonej z = a + bi można ją przedstawić jako z = r (costheta + isintheta), gdzie r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) i theta = tan ^ -1 (b / a ) (2 + i) / (14 + 9i) = (sqrt (2 ^ 2 + 1 ^ 2) (cos (tan ^ -1 (1/2)) + isin (tan ^ -1 (1/2)) )) / (sqrt (14 ^ 2 + 9 ^ 2) (cos (tan ^ -1 (9/14)) + isin (tan ^ -1 (9/14)))) ~~ (sqrt5 (cos (0.46 ) + isin (0,46))) / (sqrt277 (cos (0,57) + isin (0,57))) Dana z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) i z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2), z_1 / z_2 = r_1 / r_2 ( cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) z_1 / z_2 = sqrt5 / sqrt277 (cos (0,46-0,57) + isin (0,46-0,57)) = sq

Jak podzielić (9i-5) / (-2i + 6) w formie trygonometrycznej?

Frac {-5 + 9i} {6-2i} = {-12 + 11i} / 10, ale nie mogłem skończyć w formie trygonometrycznej. Są to ładne liczby złożone w formie prostokątnej. To wielka strata czasu, aby przekonwertować je na współrzędne biegunowe, aby je podzielić. Spróbujmy w obie strony: frac {-5 + 9i} {6-2i} cdot {6 + 2i} / {6 + 2i} = {-48 + 44i} / {40} = {-12 + 11i} / 10 To było łatwe. Kontrastujmy. We współrzędnych biegunowych mamy -5 + 9i = sqrt {5 ^ 2 + 9 ^ 2} e ^ {i text {atan2} (9, -5)} Piszę tekst {atan2} (y, x) jako popraw dwa parametry, odwrotna styczna czterech ćwiartek. 6-2i = sqrt {6 ^ 2 + 2 ^ 2} e ^ {i text {atan2} (- 2, 6