Czym jest ortocentrum trójkąta z narożnikami w (9, 7), (4, 4) i (8, 6) #?

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Nazwiemy wierzchołki # A = (4,4) #, # B = (9,7) # i # C = (8,6) #.

Musimy znaleźć dwa równania, które są prostopadłe do dwóch boków i przechodzą przez dwa wierzchołki. Możemy znaleźć nachylenie dwóch boków, aw konsekwencji nachylenie dwóch prostopadłych linii.

Nachylenie AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Nachylenie prostopadłe do tego:

#-5/3#

To musi przejść przez wierzchołek C, więc równanie linii jest:

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Nachylenie BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Nachylenie prostopadłe do tego:

#-1#

To musi przejść przez wierzchołek A, więc równanie linii jest:

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

Gdzie przecinają się 1 i 2 to ortocentrum.

Rozwiązywanie 1 i 2 jednocześnie:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Korzystanie z 2:

# y = -17 + 8 = -9 #

Orthocenter:

#(17, -9)#

Ponieważ trójkąt jest rozwarty, ortocentrum znajduje się poza trójkątem. można to zobaczyć, jeśli przedłużasz linie wysokości, aż się skrzyżują.

Odpowiedź:

Orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

Circumcenter

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Wyjaśnienie:

Orthocenter

Dany # p_1, p_2, p_3 # i

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # takie

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Te wektory można łatwo uzyskać, na przykład

# p_1 = (x_1, y_1) # i # p_2 = (x_2, y_2) # i wtedy

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Teraz mamy

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Te trzy linie przecinają się w ortocentrum trójkąta

Wybór # L_1, L_2 # mamy

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # lub

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

podając równania

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Teraz rozwiązywanie dla # lambda_1, lambda_2 # mamy

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

i wtedy

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

Circumcenter

Równanie obwodu jest podane przez

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

teraz jeśli # {p_1, p_2, p_3} w C # mamy

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

odjęcie pierwszego od drugiego

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

odjęcie pierwszego od trzeciego

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

podając układ równań

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Teraz zastępując dane wartości, które otrzymujemy

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Dołączono działkę przedstawiającą ortocentrum (czerwone) i centrum okrążenia (niebieskie).