Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 5?

Pierwiastek kwadratowy z #5# nie da się uprościć ojca niż jest, więc tutaj jest # sqrt5 # do dziesięciu miejsc po przecinku:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Odpowiedź:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # to liczba niewymierna.

Wyjaśnienie:

Wszystkie liczby dodatnie mają zwykle dwa pierwiastki kwadratowe, dodatnie i ujemne tego samego rozmiaru. Oznaczamy pierwiastek kwadratowy dodatni (główny a.k.a.) z # n # przez #sqrt (n) #.

Pierwiastek kwadratowy z liczby # n # to liczba # x # takie # x ^ 2 = n #. Więc jeśli # x ^ 2 = n # również wtedy # (- x) ^ 2 = n #.

Jednak popularne jest to, że „pierwiastek kwadratowy” odnosi się do pierwiastka dodatniego.

Załóżmy, że mamy liczbę dodatnią # x # który spełnia:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Potem pomnożenie obu stron przez # (2 + x) # dostajemy:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Następnie odejmowanie # 2x # z obu stron otrzymujemy:

# x ^ 2 = 5 #

Więc znaleźliśmy:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (biały) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Ponieważ ta ciągła część nie kończy się, możemy to powiedzieć #sqrt (5) # nie może być reprezentowany jako ułamek końcowy - tj. liczba wymierna. Więc #sqrt (5) # to irracjonalna liczba nieco mniejsza niż #2 1/4 = 9/4#. Aby uzyskać lepsze racjonalne przybliżenia, możesz zakończyć ułamek ciągły po kolejnych wyrażeniach.

Na przykład:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2,235 #

Rozpakowanie tych ciągłych ułamków może być trochę żmudne, więc generalnie wolę stosować inną metodę, mianowicie współczynnik ograniczający sekwencję całkowitą zdefiniowaną rekurencyjnie.

Zdefiniuj sekwencję według:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Pierwsze kilka terminów to:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Stosunek między terminami będzie miał tendencję # 2 + sqrt (5) #.

Więc znajdujemy:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #