Jakie są bezwzględne ekstrema f (x) = sin2x + cos2x w [0, pi / 4]?

Odpowiedź:

Absolutnie max: #x = pi / 8 #

Absolutna min. jest w punktach końcowych: #x = 0, x = pi / 4 #

Wyjaśnienie:

Znajdź pierwszą pochodną za pomocą reguły łańcucha:

Pozwolić #u = 2x; u '= 2 #, więc #y = sinu + cos u #

#y '= (cosu) u' - (sinu) u '= 2cos2x - 2s22x #

Znajdź krytyczne liczby, ustawiając #y '= 0 # i czynnik:

# 2 (cos2x-sin2x) = 0 #

Kiedy robi #cosu = sinu #? gdy #u = 45 ^ @ = pi / 4 #

więc #x = u / 2 = pi / 8 #

Znajdź drugą pochodną: #y '' = -4sin2x-4cos2x #

Sprawdź, czy masz max # pi / 8 # używając drugiego testu pochodnego:

#y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0 #, w związku z tym # pi / 8 # jest absolutnym maksimum w przedziale.

Sprawdź punkty końcowe:

#y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 # minimalne wartości

Z wykresu:

wykres {sin (2x) + cos (2x) -.1,.78539816, -.5, 1.54}

Odpowiedź:

# 0 i sqrt2 #. Zobacz przykładowy wykres Sokratesa.

Wyjaśnienie:

wykres(Posługiwać się # | sin (theta) | w 0, 1 #.

# | f | = | sin2x + cos2x | #

# sqrt2 | sin2x cos (pi / 4) + cosx sin (pi / 4) | #

# = sqrt2 | sin (2x + pi / 4) | w 0, sqrt 2 #.