Jak znaleźć asymptoty dla y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Odpowiedź:

Pionowy

# x = 1 #

# x = 3 #

Poziomy

# x = 1 # (dla obu # + - oo #)

Ukośny

Nie istnieje

Wyjaśnienie:

Pozwolić # y = f (x) #

• Pionowe asymptoty

Znajdź granice funkcji, ponieważ zmierza ona do granic swojej domeny z wyjątkiem nieskończoności. Jeśli ich wynik jest nieskończony, to # x # linia jest asymptotą. Tutaj domeną jest:

#x in (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Więc 4 możliwy asymptoty pionowe to:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asymptota # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Pionowa asymptota dla # x = 1 #

Uwaga: dla # x-1 # od # x # jest nieco niższa niż 1, wynik będzie nieco niższy niż 0, więc znak będzie ujemny, stąd notatka #0^-# co później przekłada się na znak ujemny.

Potwierdzenie asymptoty # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Zatwardziały

Asymptota # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Pionowa asymptota dla # x = 3 #

Potwierdzenie asymptoty # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Zatwardziały

• Poziome asymptoty

Znajdź oba limity, gdy funkcja ma tendencję # + - oo #

Minus nieskończoność #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (anuluj (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (anuluj (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asymptota pozioma dla # y = 1 #

Plus nieskończoność #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (anuluj (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (anuluj (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asymptota pozioma dla # y = 1 #

Uwaga: tak się składa, że ta funkcja ma wspólny poziomy dla obu # -oo # i # + oo #. Zawsze powinieneś sprawdzić oba.

• Skośne asymptoty

Najpierw musisz znaleźć oba limity:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Dla każdego, jeśli ten limit jest liczbą rzeczywistą, asymptota istnieje, a limit to jej nachylenie. The # y # przechwycenie każdego jest limitem:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Aby jednak uratować nam kłopoty, możesz użyć pewnej „wiedzy” funkcji, aby tego uniknąć. Od kiedy wiemy #f (x) # ma poziomy asymptot dla obu # + - oo # jedynym sposobem na ukośne jest posiadanie innej linii #x -> + - oo #. Jednak, #f (x) # jest #1-1# funkcja więc nie może być dwóch # y # wartości dla jednego # x #, stąd druga linia jest niemożliwa, więc niemożliwe jest posiadanie ukośnych asymptot.