Jaka jest arclength r = 4the na theta w [-pi / 4, pi]?

Odpowiedź:

#approx 27.879 #

Wyjaśnienie:

To jest metoda konspektu. Grind niektórych prac został wykonany przez komputer.

Długość łuku #s = int dot s

i #dot s = sqrt (vec v * vec v) #

Teraz, na #vec r = 4 theta kapelusz r #

#vec v = kropka r kapelusz r + r kropka theta kapelusz theta #

# = 4 kropki theta kapelusz r + 4 theta dot theta kapelusz theta #

# = 4 kropka theta (kapelusz r + theta

Więc #dot s = 4 kropka theta sqrt (1 + theta ^ 2) #

Długość łuku #s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) sqrt (1 + theta ^ 2) krop theta dt #

# = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2)

# = 2 theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta _ (- pi / 4) ^ (pi) # rozwiązanie komputerowe. Zobacz link do Youtube tutaj, aby poznać metodę

#approx 27.879 # rozwiązanie komputerowe

Znajdź wartość theta, jeśli, Cos (theta) / 1 - sin (theta) + cos (theta) / 1 + sin (theta) = 4?

Theta = pi / 3 lub 60 ^ @ OK. Mamy: costheta / (1-sintheta) + costheta / (1 + sintheta) = 4 Zignorujmy na razie RHS. costheta / (1-sintheta) + costheta / (1 + sintheta) (costheta (1 + sintheta) + costheta (1-sintheta)) / ((1-sintheta) (1 + sintheta)) (costheta ((1-sintheta) ) + (1 + sintheta))) / (1-sin ^ 2theta) (costheta (1-sintheta + 1 + sintheta)) / (1-sin ^ 2theta) (2costheta) / (1-sin ^ 2theta) Zgodnie z tożsamość pitagorejska, sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1. Więc: cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2theta Teraz, gdy już to wiemy, możemy napisać: (2costheta) / cos ^ 2theta 2 / costheta = 4 costheta / 2 = 1/4 costheta = 1/2 thet

Jaka jest arclength r = 3 / 4the theta w [-pi, pi]?

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) jednostek. > r = 3 / 4the r ^ 2 = 9 / 16the ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arclength podaje się przez: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16the ^ 2 + 9/16) d theta Uprość: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Z symetrii: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Zastosuj podstawienie theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Jest to znana całka: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Odwróć podstawienie: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Wstaw granice integracji: L = 3 / 4pisqrt

Pokaż, że (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Patrz poniżej. Niech 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), tutaj r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) -2) = 2cos (theta / 2) i tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) lub alpha = theta / 2, a następnie 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alpha) + isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) i możemy pisać (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n przy użyciu twierdzenia DE MOivre'a jako r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncos