![Jaka jest arclength r = 3 / 4the theta w [-pi, pi]?](https://img.go-homework.com/img/calculus/what-is-the-arclength-of-fxsqrtx3-on-x-in-13.jpg "Jaka jest arclength r = 3 / 4the theta w [-pi, pi]?")
Odpowiedź:
Wyjaśnienie:
# r = 3 / 4theta #
# r ^ 2 = 9 / 16the ^ 2 #
# r '= 3/4 #
# (r ') ^ 2 = 9/16 #
Arclength jest podawany przez:
# L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16the ^ 2 + 9/16) d theta #
Uproszczać:
# L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta #
Z symetrii:
# L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta #
Zastosuj zmianę
# L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi #
To jest znana integralna:
# L = 3/4 secphitanphi + ln | secphi + tanphi | #
Odwróć substytucję:
# L = 3/4 thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) | _0 ^ pi #
Wstaw ograniczenia integracji:
# L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) #
Znajdź wartość theta, jeśli, Cos (theta) / 1 - sin (theta) + cos (theta) / 1 + sin (theta) = 4?
Theta = pi / 3 lub 60 ^ @ OK. Mamy: costheta / (1-sintheta) + costheta / (1 + sintheta) = 4 Zignorujmy na razie RHS. costheta / (1-sintheta) + costheta / (1 + sintheta) (costheta (1 + sintheta) + costheta (1-sintheta)) / ((1-sintheta) (1 + sintheta)) (costheta ((1-sintheta) ) + (1 + sintheta))) / (1-sin ^ 2theta) (costheta (1-sintheta + 1 + sintheta)) / (1-sin ^ 2theta) (2costheta) / (1-sin ^ 2theta) Zgodnie z tożsamość pitagorejska, sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1. Więc: cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2theta Teraz, gdy już to wiemy, możemy napisać: (2costheta) / cos ^ 2theta 2 / costheta = 4 costheta / 2 = 1/4 costheta = 1/2 thet
Jaka jest arclength r = 4the na theta w [-pi / 4, pi]?
![Jaka jest arclength r = 4the na theta w [-pi / 4, pi]?](https://img.go-homework.com/calculus/what-is-the-arclength-of-r4theta-on-theta-in-pi/4pi.jpg "Jaka jest arclength r = 4the na theta w [-pi / 4, pi]?")
Ok. 27.879 Jest to metoda zarysowa. Grind niektórych prac został wykonany przez komputer. Długość łuku s = int kropka s dt i kropka s = sqrt (vec v * vec v) Teraz, dla vec r = 4 theta kapelusz r vec v = kropka r kapelusz r + r kropka theta kapelusz theta = 4 kropka theta kapelusz r + 4 theta dot theta kapelusz theta = 4 kropka theta (kapelusz r + theta kapelusz theta) Więc kropka s = 4 kropka theta sqrt (1 + theta ^ 2) Długość łuku s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 ) sqrt (1 + theta ^ 2) krop theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi / 4) ^ (p
Pokaż, że (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?
Patrz poniżej. Niech 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), tutaj r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) -2) = 2cos (theta / 2) i tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) lub alpha = theta / 2, a następnie 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alpha) + isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) i możemy pisać (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n przy użyciu twierdzenia DE MOivre'a jako r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncos