Pytanie # 242a2

Odpowiedź:

Za energię zgromadzoną w kondensatorze w czasie # t # mamy #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # gdzie #E (0) # jest początkowa energia, #DO# pojemność i # R # opór przewodu łączącego dwie strony kondensatora.

Wyjaśnienie:

Najpierw przejrzyjmy kilka podstawowych pojęć, zanim odpowiemy na to pytanie. Oczywiście musimy znać energię zmagazynowaną w kondensatorze, a raczej energię zmagazynowaną w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek przechowywany w kondensatorze. Do tego mamy wzór # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # z #DO# pojemność kondensatora i # P # ładunek przechowywany na jednej z płyt kondensatorów. 1

Aby wiedzieć, jak maleje energia, musimy wiedzieć, jak zmniejsza się ładunek. W tym celu należy pamiętać o kilku rzeczach. Pierwszą rzeczą jest to, że opłata może się zmniejszyć tylko wtedy, gdy może przejść gdziekolwiek. Najprostszym scenariuszem jest to, że dwie płyty są połączone przewodem, tak że płyty mogą wymieniać ładunek, aby stały się neutralne. Drugą rzeczą jest to, że gdybyśmy przyjęli, że drut nie ma oporu, ładunek byłby w stanie poruszyć się natychmiast, więc energia spadłaby również do zera w tym tempie. Ponieważ jest to nudna sytuacja, a poza tym nie do końca realistyczna, zakładamy, że drut ma pewien opór # R #, które możemy modelować, łącząc płyty kondensatorów za pomocą rezystora z rezystancją # R # przy użyciu przewodów bez rezystancji.

Mamy teraz tzw. Obwód RC, przedstawiony poniżej. Aby dowiedzieć się, jak zmienia się przechowywany ładunek, musimy zapisać pewne równanie różniczkowe. Nie jestem pewien, jak biegły jest czytelnik w matematyce, więc proszę dać mi znać, jeśli następująca sekcja jest dla ciebie niejasna, a ja spróbuję wyjaśnić to bardziej szczegółowo.

Przede wszystkim zauważamy, że gdy przechodzimy wzdłuż drutu, doświadczamy dwóch skoków potencjału elektrycznego (napięcia), mianowicie kondensatora i rezystora. Te skoki są podane przez # DeltaV_C = Q / C # i # DeltaV_R = IR # odpowiednio 1. Zauważamy, że początkowo nie ma prądu, więc różnica potencjałów na rezystorze wynosi 0, jednak, jak zobaczymy, będzie prąd, gdy ładunki zaczną się poruszać. Teraz zauważamy, że kiedy chodzimy po obwodzie, zaczynając od jednego punktu, skończymy ponownie w tym samym punkcie, ponieważ jesteśmy w obwodzie. W tym jednym punkcie potencjał jest taki sam za każdym razem, ponieważ jest to ten sam punkt. (Kiedy mówię, że chodzimy po obwodzie, nie mam na myśli tego dosłownie, raczej sprawdzamy skoki napięcia na obwodzie w jednym punkcie czasu, więc nie ma czasu, kiedy idziemy po obwodzie, dlatego argument jest słuszny, nawet jeśli napięcie zmienia się w czasie.)

Oznacza to, że całkowity skok potencjału wynosi zero. Więc # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Teraz myślimy o tym, co #JA#, obecny jest. Prąd jest ładunkiem ruchomym, pobiera ładunek dodatni od jednej płyty kondensatora i dostarcza ładunek do drugiego. (Właściwie to w większości przypadków jest odwrotnie, ale nie ma to znaczenia dla matematyki tego problemu.) Oznacza to, że prąd jest równy zmianie ładunku na płytach, innymi słowy # I = (dQ) / dt #. Zastępowanie tego w powyższym równaniu daje nam # (dQ) / dtR + Q / C = 0 #, co znaczy # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. Jest to tak zwane liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu. To dyktuje zmianę opłaty o wartość opłaty w tym czasie w sposób liniowy, co oznacza, że jeśli opłata byłaby dwa razy większa, zmiana opłaty byłaby również dwukrotnie większa. Możemy rozwiązać to równanie dzięki sprytnemu użyciu rachunku różniczkowego.

# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, Przyjmujemy # Qne0 #, którego początkowo nie ma, i jak się okaże, nigdy nie będzie. Używając tego możemy powiedzieć # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Wiedzieć # P # w pewnym momencie # t # (innymi słowy #Q (t) #, integrujemy równanie w następujący sposób: # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t-1 / (CR) dt '= - t / (CR) # od #DO# i # R # są stałymi. # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # poprzez zmianę zmiennych. To znaczy #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, więc #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Wreszcie musimy zastąpić to w równaniu dla energii:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Zatem energia spada wykładniczo w czasie. Rzeczywiście widzimy to, jeśli # R # mieli przejść do zera, #E (t) # przejdzie natychmiast do 0.

1 Griffiths, David J. Wprowadzenie do elektrodynamiki. Czwarta edycja. Pearson Education Limited, 2014