Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) w przedziale x, y w [-pi, pi]?

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Mamy:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Krok 2 - Zidentyfikuj punkty krytyczne

Punkt krytyczny występuje przy jednoczesnym rozwiązaniu

# f_x = f_y = 0 iff (częściowy f) / (częściowy x) = (częściowy f) / (częściowy y) = 0 #

tj. kiedy:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # równocześnie

Rozważ równanie A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Następnie mamy dwa rozwiązania:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Teraz użyj Eq B, aby znaleźć odpowiednią współrzędną:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# = = 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => xw RR # (rynny)

Co daje nam następujące punkty krytyczne:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 punkty krytyczne)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 punkty krytyczne)

# (alpha, 0) AA alfa w RR (linia rynny)

# (alpha, + -pi) AA alfa w RR (2 linie rynnowe)

Rozważ równanie B

# -6sinxsin2y = 0 #

Następnie mamy dwa rozwiązania:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# = = y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Teraz użyjmy Eq A, aby znaleźć odpowiednią współrzędną @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (powtórzenia powyżej)

# y = 0 => x w RR # (powtórz powyższe)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# = = x = + - pi / 2 # (powtórzenia powyżej)

Co nie daje nam żadnych dodatkowych punktów krytycznych:

Krok 3 - Klasyfikuj punkty krytyczne

Aby sklasyfikować punkty krytyczne, wykonujemy test podobny do jednego rachunku różniczkowego, używając drugiej pochodnej cząstkowej i hesyjskiej macierzy.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((częściowy ^ 2 f) / (częściowy x ^ 2), (częściowy ^ 2 f) / (częściowy x częściowy y)), ((częściowy ^ 2 f) / (częściowy y częściowy x), (częściowy ^ 2 f) / (częściowe y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Następnie w zależności od wartości #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Jest maksimum, jeśli" f_ (xx) <0), (, "i minimum, jeśli" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "jest punkt siodłowy"), (Delta = 0, „Konieczna jest dalsza analiza”):} #

Przy użyciu niestandardowych makr Excel wartości funkcji wraz z częściowymi wartościami pochodnymi są obliczane w następujący sposób:

Oto wykres funkcji

I miejsce z punktami krytycznymi (i rynnami)

Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domena definicji: f (x) = 2x ^ 2lnx to przedział xw (0, + oo). Oceń pierwszą i drugą pochodną funkcji: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Punkty krytyczne to rozwiązania: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 i jako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) W tym punkcie: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, więc punkt krytyczny jest lokalnym minimum. Punkty siodłowe są rozwiązaniami: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 i jak f '' (x) jest monotonicznie rosnący możemy stwierdzić, że f (x ) jest wk

Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Ta funkcja nie ma punktów stacjonarnych (czy jesteś pewien, że f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x to ta, którą chcesz studiować ?!). Zgodnie z najbardziej rozproszoną definicją punktów siodłowych (punkty stacjonarne, które nie są ekstremami), szukasz punktów stacjonarnych funkcji w jej domenie D = (x, y) w RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) w RR ^ 2}. Możemy teraz przepisać wyrażenie podane dla f w następujący sposób: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Sposób ich identyfikacji polega na poszukiwaniu punktów, które unieważniają gradient f, który jest wektorem poch

Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 6 sin x sin y w przedziale x, y w [-pi, pi]?

X = pi / 2 i y = pi x = pi / 2 i y = -pi x = -pi / 2 i y = pi x = -pi / 2 i y = -pi x = pi i y = pi / 2 x = pi i y = -pi / 2 x = -pi i y = pi / 2 x = -pi i y = -pi / 2 Aby znaleźć punkty krytyczne funkcji 2 zmiennych, musisz obliczyć gradient, który jest wektorem zawierającym pochodne w odniesieniu do każdej zmiennej: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Mamy więc d / dx f (x, y) = 6 cos (x ) sin (y) i podobnie d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Aby znaleźć punkty krytyczne, gradient musi być wektorem zerowym (0,0), co oznacza rozwiązanie układu {(6 cos (x) sin (y) = 0), (6 cali (x) cos (y) = 0):} które oczywiście