Jakie są lokalne maksima i minima f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Odpowiedź:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Ta funkcja ma pionową asymptotę przy # x = 2 #, zbliża się #1# z góry, jak idzie x # + oo # (asymptota pozioma) i podejścia #1# od dołu, jak idzie x # -oo #. Wszystkie pochodne są nieokreślone w # x = 2 # także. Istnieje jedno lokalne minimum # x = 0 #, # y = 0 # (Wszystkie te kłopoty z powodu pochodzenia!)

Zauważ, że możesz sprawdzić moją matematykę, nawet najlepsi z nas rzucają nieparzysty znak ujemny i jest to długie pytanie.

Wyjaśnienie:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Ta funkcja ma pionową asymptotę przy # x = 2 #, ponieważ mianownik wynosi zero, kiedy # x = 2 #.

Zbliża się #1# z góry, jak idzie x # + oo # (asymptota pozioma) i podejścia #1# od dołu, jak idzie x # -oo #, ponieważ dla dużych wartości # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # z # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # dla #x> 0 # i # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # dla #x <0 #.

Aby znaleźć max / min, potrzebujemy pierwszej i drugiej pochodnej.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Użyj reguły ilorazu!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2)) ^ 4}) #.

Korzystając z reguły dla mocy i reguły łańcucha otrzymujemy:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Trochę się teraz dogadujemy …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Teraz druga pochodna, zrobiona jak pierwsza.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Jest brzydki, ale musimy tylko podłączyć i zanotować, gdzie jest źle.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Ta funkcja jest niezdefiniowana w # x = 2 #, ta asymptota, ale wszędzie wygląda dobrze.

Chcemy wiedzieć, że max / min to …

ustawiamy # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # jest to zero, gdy licznik wynosi zero i jeśli mianownik nie jest.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # lub # 4x (2-x) = 0 # To jest zero na # x = 0 # i # x = 2 #, ale nie możemy mieć max / min, gdy pochodna / funkcja jest niezdefiniowana, więc jedyną możliwością jest # x = 0 #.

„drugi test pochodny”

Teraz patrzymy na drugą pochodną, brzydką, jak to jest …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Podobnie jak funkcja i pierwsza pochodna jest niezdefiniowana w # x = 2 #, ale wszędzie wygląda dobrze.

Podłączamy # x = 0 # w # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, czy zero nie jest tak uroczym numerem do podłączenia?

#=128/256# wszystko po to #1/2#

#1/2 >0# więc # x = 0 # to lokalne minima.

Aby znaleźć wartość y, musimy podłączyć ją do funkcji.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Pochodzenie!