Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele odrębnych par (a, b) liczb całkowitych pierwszorzędnych a> 1 i b> 1 takich, że ^ b + b ^ a jest podzielne przez a + b?

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Zrobienie # a = 2k + 1 # i # b = 2k + 3 # mamy to

# a ^ b + b ^ a equiv 0 mod (a + b) # i dla #k w NN ^ + # mamy to #za# i #b# są ko-pierwsze.

Zrobienie # k + 1 = n # mamy

# (2n-1) ^ (2n + 1) + (2n + 1) ^ (2n-1) equiv 0 mod 4 # jak można łatwo pokazać.

Również można to łatwo pokazać

# (2n-1) ^ (2n + 1) + (2n + 1) ^ (2n-1) equiv 0 mod n # więc

# (2n-1) ^ (2n + 1) + (2n + 1) ^ (2n-1) equiv 0 mod 4n # i dlatego jest to zademonstrowane # a = 2k + 1 # i # b = 2k + 3 #

# a ^ b + b ^ a equiv 0 mod (a + b) # z #za# i #b# ko-prime.

Z tego wniosek

… że istnieje nieskończenie wiele różnych par # (a, b) # pierwszorzędnych liczb całkowitych #a> 1 # i #b> 1 # takie # a ^ b + b ^ a # jest podzielny przez # a + b #.