Jakie są ekstrema lokalne f (x) = (lnx) ^ 2 / x?

Odpowiedź:

Istnieje lokalne minimum #0# w #1#. (Który jest również globalny) i maksimum lokalne # 4 / e ^ 2 # w # e ^ 2 #.

Wyjaśnienie:

Dla #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #, zauważ najpierw, że domena #fa# to pozytywne liczby rzeczywiste, # (0, oo) #.

Następnie znajdź

#f '(x) = (2 (lnx) (1 / x) * x - (lnx) ^ 2 1) / x ^ 2 #

# = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 #.

#fa'# jest nieokreślony w # x = 0 # który nie jest w domenie #fa#, więc nie jest to krytyczna liczba dla #fa#.

#f '(x) = 0 # gdzie

# lnx = 0 # # # lub # # # 2-lnx = 0 #

# x = 1 # # # lub # # # x = e ^ 2 #

Sprawdź interwały #(0,1)#, # (1, e ^ 2) #, i # (e ^ 2, oo) #.

(Dla numerów testowych sugeruję # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # -- odwołanie # 1 = e ^ 0 # i # e ^ x # wzrasta.)

Znaleźliśmy to #fa'# przechodzimy od negatywu do pozytywu #1#, więc #f (1) = 0 # to lokalne minimum

i to #fa'# przechodzimy od pozytywnej do negatywnej # e ^ 2 #, więc #f (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # to maksimum lokalne.