Mamy okrąg z wpisanym kwadratem z wpisanym okręgiem z wpisanym trójkątem równobocznym. Średnica zewnętrznego okręgu wynosi 8 stóp. Trójkąt kosztuje 104,95 USD za stopę kwadratową. Jaki jest koszt trójkątnego centrum?

Odpowiedź:

Koszt centrum trójkątnego wynosi 1090,67 $

Wyjaśnienie:

#AC = 8 # jako dana średnica okręgu.

Dlatego z twierdzenia Pitagorasa dla prawego trójkąta równoramiennego #Delta ABC #, #AB = 8 / sqrt (2) #

Potem od #GE = 1/2 AB #, #GE = 4 / sqrt (2) #

Oczywiście, trójkąt # Delta GHI # jest równoboczny.

Punkt #MI# jest środkiem okręgu, który otacza # Delta GHI # i jako taki jest środkiem przecięcia środkowych, wysokości i dwusiecznych tego trójkąta.

Wiadomo, że punkt przecięcia median dzieli te mediany w stosunku 2: 1 (dla dowodu patrz Unizor i podążaj za linkami Geometria - Linie równoległe - Mini twierdzenia 2 - Teorem 8)

W związku z tym, # GE # jest #2/3# całej mediany (i wysokości oraz dwusiecznej) trójkąta # Delta GHI #.

Znamy wysokość # h # z # Delta GHI #, to jest równe #3/2# pomnożone przez długość # GE #:

#h = 3/2 * 4 / sqrt (2) = 6 / sqrt (2) #

Porozumiewawczy # h #, możemy obliczyć długość boku #za# z # Delta GHI # używając twierdzenia Pitagorasa:

# (a / 2) ^ 2 + h ^ 2 = a ^ 2 #

z czego następuje:

# 4h ^ 2 = 3a ^ 2 #

# a = (2h) / sqrt (3) #

Teraz możemy obliczyć #za#:

#a = (2 * 6) / (sqrt (2) * sqrt (3)) = 2sqrt (6) #

Obszar trójkąta jest zatem

#S = 1 / 2ah = 1/2 * 2sqrt (6) * 6 / sqrt (2) = 6sqrt (3) #

W cenie 104,95 USD za stopę kwadratową cena trójkąta wynosi

#P = 104,95 * 6sqrt (3) ~~ 1090,67 #